Poincaré

Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática.

Henri Poincaré

Nada que añadir. Bueno sí, gracias a Ricardo.

Asimov hablando sobre internet

Entrevista al visionario Isaac Asimov en 1988, hablando sobre un futuro de internet (entonces aún en pañales) muy parecido a la herramienta fundamental que es hoy día.

La relojería de Einstein

El lanzamiento de la bomba atómica lo ha cambiado todo excepto nuestro modo de pensar… la solución a este problema se encuentra en el corazón de la humanidad. Si lo sé, me hago relojero.

Albert Einstein (gracias a Baltor)

Zugzwang: Quien juega pierde

Zugzwang es como quedar atrapado en una isla segura en medio de una autopista cuando comienza una tormenta.

Arthur Bisguier

Normalmente, cuando estamos jugando al ajedrez y echamos un vistazo al tablero, queremos que nos toque jugar. De hecho, son muy comunes las posiciones en las que quien juega, gana. Tener el turno de juego te da una ventaja que puede resultar crucial para decidir la partida.

Sin embargo, lo que no son tan comunes son posiciones en las que quien juega, pierde. Es lo que se denomina Zugzwang (del alemán zug, jugada, y zwang, forzada). En estos casos, la obligación de realizar un movimiento hace que el jugador que mueve pierda la ventaja, o incluso la partida.

Veamos algunos ejemplos de esta curiosa situación (los he sacado de la wikipedia inglesa, el artículo en español es muy incompleto).

Ejemplo 1: Empezamos por un caso muy sencillo.

Si juegan las negras: Su única jugada posible es … Rd7. A lo que sigue Rb7 y después de cualquier jugada de las negras el peón corona. Ganan blancas.

Supongamos ahora que juegan las blancas:  Si Rc6 son tablas por ahogado. Y cualquier otra jugada aleja al rey del peón blanco, por lo que se sigue …Rxc7 y de nuevo son tablas.

Ejemplo 2: Veamos ahora una situación de zugzwang extremo, en la que quien mueve pierde la partida.

Si juegan blancas, sólo pueden mover el rey. Supongamos, por ejemplo que Rd3 (da lo mismo). Entonces …b3. Si axb3 entonces …a2 y el peón de a corona. En otro caso …b2 y el que corona es el peón de b. Ganan negras.

Si juegan negras, es aún más sencillo. Sólo pueden mover …b3, tras lo cual axb3++ es ¡mate!

Ejemplo 3: Éste es otro caso extremo, que se denomina trébuchet (que también hace referencia al famoso lanzapiedras del AoE, aunque eso ahora no viene al caso).

Supongamos que juegan las blancas. Sólo pueden mover el rey, y cualquier movimiento posible lo desvía de la defensa del peón. Las negras lo capturan y el resto es bastante rutinario. El peón negro corona y ganan negras.

Si juegan las negras, la situación es totalmente simétrica y ganan blancas.

Ejemplo 4: Aquí tenemos más piezas y se complica un poco el asunto.

En primer lugar observemos que cualquier movimiento de uno de los reyes lo desvía de la defensa de su peón, permitiendo al rey opuesto que lo capture y nada puede evitar la coronación. Así que mover un rey no parece recomendable.

Fijémonos ahora en la parte izquierda del tablero (flanco de dama).

Supongamos que juegan blancas, por ejemplo b4. Negras juegan d5. Ahora si b5, se responde d4 y si c3, a6. En esa posición, cualquier movimiento de las blancas pierde un peón y permite la coronación. Otra opción es jugar 1. b3 d6 2. c4 a5 (o 2.c3 b6 3. c4 a5) con las que se llega a una situación similar.  El resto de opciones son simétricas, y siempre acaban ganando negras.

Si juegan negras, el truco es similar, lo podéis pensar fácilmente. Ganan blancas.

Ejemplo 5: Y por último, una situación parecida a la anterior.

Éste lo dejo para que lo penséis, podéis explicarlo en los comentarios. Pero de nuevo, si alguna vez llegais a una situación en esta partida, más vale que le toque al otro 🙂

¿Quién fue Picio?

A principios del siglo pasado existía en Granada un zapatero de aquel nombre, natural de Alhendín, pueblo de la provincia, el cual, por no sé qué delito, habia sido sentenciado a la última pena. Hallándose en capilla recibió la noticia del indulto, y fué tanta la sorpresa que le causó la inesperada nueva, que, cayéndosele a poco el pelo, las cejas y las pestañas, y llenándosele de tumores la cara, quedó tan monstruoso y deforme, que en breve pasó a ser citado como modelo de la fealdad más horrorosa. Retiróse después a Lanjarón, villa a 7 leguas de Granada, donde por no querer quitarse de la cabeza el pañuelo con el que constantemente se la tapaba, a fin de no descubrir la calva, jamás entraba en la iglesia, lo cual, observado por los habitantes, fué causa de que le hicieran salir más que de prisa de aquella población; entonces se refugió en Granada, donde murió al poco tiempo, según me declaran personas que me aseguran haberlo conocido.

Jose María Sbarbi, Diccionario de refranes (1922)

Fuentes:
Picio – Wikipedia
Diccionario de refranes, adagios, proverbios modismos, locuciones y frases proverbiales de la lengua espanola – Internet Archive

El pequeño tiburón que mordía submarinos

El tiburón cigarro o cortador de galletas (Isistius brasiliensis) es uno de los tiburones de menor tamaño, entre 10 y 50 cm de longitud. Habita en aguas tropicales y pasa el día a una gran profundidad, hasta 3.600m. De noche sube a la superficie para alimentarse.

Este escualo ataca a animales mucho más grandes que él, formando una ventosa con la boca para agarrarse a su presa. Los dientes superiores son pequeños y puntiagudos para sujetarse a la piel de la presa. El tiburón cigarro gira para cortar trozos circulares de carne con sus dientes inferiores serrados y afilados. Después del ataque, la presa queda con una marca de unos 5 cm de diámetro y 7 cm de profundidad, casi perfectamente circular, como si alguien le hubiera apagado un cigarro en la piel. De ahí su nombre.

Mordisco de un tiburon cigarro a un atún

Elefante marino atacado por un tiburón cigarro

Se han encontrado mordiscos de tiburones cigarro en marsopas, delfines, ballenas, focas, vacas marinas, atunes, calamares, otros tiburones… además de otros presas de dimensiones más modestas.

En el siguiente vídeo vemos a un delfín que ha sido atacado por un tiburón cigarro:

Todo esto supone un gran desgaste para sus dientes, que como ocurre con otras especies de tiburones reemplaza regularmente. Además, cambia toda su dentadura inferior de golpe, en lugar de diente a diente. Se ha calculado que un tiburón cigarro de 14 cm cambia unas 15 veces su dentadura inferior antes de llegar a los 50 cm, lo que supone entre 435 y 465 dientes.

Para hacer frente a esta importante inversión de recursos, se cree que el tiburón cigarro ingiere los antiguos dientes, lo que le permitiría reciclar el calcio que contienen.

A causa de su pequeño tamaño, no es considerado muy peligroso para los humanos. Sin embargo, ha protagonizado varios ataques a nadadores, buzos o supervivientes de naufragios.

Durante la década de 1970, varios submarinos nucleares estadounidenses sufrieron mordiscos en la cubierta de neopreno de sus sonares. Esto provocó fugas de aceite que impedían la navegación, obligándolos a volver a su base para repararlos. La marina americana debió tener pesadillas pensando en una extraña arma enemiga, hasta que se descubrió que el diminuto escualo era el culpable. El problema se resolvió instalando cubiertas de fibra de vidrio sobre las de neopreno.

En la década siguiente, unos treinta submarinos americanos fueron dañados por mordiscos de tiburones cigarro, principalmente en cables eléctricos de goma utilizados para mejorar la seguridad de la navegación en superficie. De nuevo la fibra de vidrio fue la solución.

Tiburón linterna, primo del tiburón cigarro

Además de todo lo anterior, el tiburón cigarro posee la luminiscencia más potente de todos los tiburones. Como bien explican en Fogonazos (blog que recomiendo leer encarecidamente), estos escualos utilizan la luminiscencia de su abdomen no para pasar desapercibidos, sino para hacerse pasar por otro tipo de pez y pillar desaprevenidas a sus víctimas antes de asestarles un bocado.

Un animal curioso, ¿no?

Fuentes:
All about sharks
Florida Museum of Natural History
Fogonazos
Sheed Aquarium
Wikipedia

[Problema] De Goldbach a Bertrand

Uno de los resultados sin demostrar más conocidos de las Matemáticas es la conjetura de Goldbach. En 1742, el matemático Christian Goldbach le escribió una carta al gran Euler en la que le proponía el siguiente problema:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Por ejemplo, 16  = 5 + 11, 26 = 13 + 13, 32 = 29 + 3, etc.

Los mejores matemáticos del mundo llevan tres siglos intentando demostrar la verdad o falsedad de esta conjetura, y aún no lo han conseguido.

Está claro, entonces, que éste no es el problema que quiero proponer. Resulta que estoy haciendo un trabajo este verano sobre el postulado de Bertrand, que afirma:

Para todo número natural n > 1 existe un número primo p tal que n < p < 2n

La demostración es algo complicada, y seguramente le dedicaré un artículo cuando haya acabado el trabajo. Sin embargo, es mucho más simple si nos creemos la conjetura de Goldbach. Y ese es el problema que propongo:

Asumiendo la conjetura de Goldbach, demostrar el postulado de Bertrand

Eratóstenes y el radio de la tierra

La luz viaja a 299.792,458 kilómetros por segundo. La temperatura en la superficie del Sol es de 6000ºK. La Tierra tiene un radio de 6371 km y una masa de 6×10²⁴ kg

Todo eso lo dice la Wikipedia. Pero, ¿cómo nos hemos conseguido medirlo? No se puede poner un termómetro en el Sol y mirar cuanto marca, ni poner la Tierra en una balanza. Es gracias a experimentos indirectos y cálculos matemáticos como conocemos esos datos.

Este post inicia una serie en la que intentaré explicar cómo llegamos a conocer a lo largo de la Historia hemos ideado experimentos cuyas conclusiones permiten conocer esos datos. En concreto, hoy hablaremos sobre el griego Eratóstenes, que calculó el radio de la Tierra ¡hace más de 2000 años!

A partir de aquí adapto lo que se dice en el maravilloso libro Viaje a través de los genios, de William Dunham:

No conocemos a ciencia cierta el procedimiento de Eratóstenes puesto que el tratado original Sobre la medida de la Tierra se ha perdido. Sin embargo, parece que su razonamiento fue el siguiente:

En la ciudad egipcia de Siena, al sur de Alejandría, el Sol caía directamente sobre la cabeza el primer día de verano. Si mirabas al fondo de un pozo en ese momento, quedabas cegado por el reflejo del Sol en el agua.

Al mismo tiempo, ese mismo día, un poste en Alejandría producía una sombra pequeña. Eratóstenes observó que el ángulo α formado por la punta de un poste y la línea de su sombra era 1/50 de un círculo completo (unos 7º). Suponiendo que Alejandría estaba al norte de Siena (lo cual era correcto, más o menos) y que el Sol estaba tan lejos de la Tierra que sus rayos llegaban en líneas paralelas (otra suposición razonable), Eratóstenes concluyó que el ángulo AOS de la figura también era igual a α .

Por último, sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5000 estadios (había contratado a un hombre para que midiera los pasos).

Esos eran todos los ingredientes. Ahora una simple proporción:

Es decir, si llamamos a la longitud de la circunferencia de la Tierra, nos queda:

Y por tanto la circunferencia de la Tierra mide 25.000 estadios. Ahora bien, no está muy claro lo que mide un estadio. Parece ser que para Eratóstenes eran 158 metros, por lo que el valor obtenido sería kilómetros.

Si también queremos saber el radio, como nos queda que . El dato actualmente aceptado es de 6371 kilómetros, de modo que el griego estuvo sorprendentemente cerca, tanto que seguramente se deba a afortunados errores de cálculo. De todos modos es impresionante. ¡Midió el radio de la tierra mirando la sombra de un palo!

La forma de razonar de Eratóstenes es digna de admirar, no sólo por ser capaz de lograr un resultado tan importante con los escasos medios de que disponía , sino también por el sorprendente hecho de que no abrigó ninguna duda acerca de la esfericidad de nuestro planeta. Sin embargo, los marinos europeos de 15 siglos después tendrían miedo de caerse por el extremo de una Tierra plana. A veces olvidadmos que los antiguos griegos estaban completamente seguros de la forma esférica de la Tierra.

Bonus: El gran Carl Sagan (del que ya hemos hablado aquí alguna vez)  explica perfectamente el razonamiento de Eratóstenes en este video:

Fuentes:

Dunham, William. Viaje a través de los genios

Para topólogos

Átomos y más átomos

Los átomos son fantásticamente duraderos. Y como tienen una vida tan larga, viajan muchísimo. Cada uno de los átomos que tú posees es casi seguro que ha pasado por varias estrellas y ha formado parte de millones de organismos en el camino que ha recorrido hasta llegar a ser tú. Somos atómicamente tan numerosos y nos reciclamos con tal vigor al morir que, un número significativo de nuestros átomos (más de mil millones de cada uno de nosotros, según se ha postulado), probablemente pertenecieron alguna vez a Shakespeare. Mil millones más proceden de Buda, de Gengis Kan, de Beethoven y de cualquier otro personaje histórico en el que puedas pensar.

Bill Bryson, Una breve historia de casi todo.