[Problema] De Goldbach a Bertrand

Uno de los resultados sin demostrar más conocidos de las Matemáticas es la conjetura de Goldbach. En 1742, el matemático Christian Goldbach le escribió una carta al gran Euler en la que le proponía el siguiente problema:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Por ejemplo, 16  = 5 + 11, 26 = 13 + 13, 32 = 29 + 3, etc.

Los mejores matemáticos del mundo llevan tres siglos intentando demostrar la verdad o falsedad de esta conjetura, y aún no lo han conseguido.

Está claro, entonces, que éste no es el problema que quiero proponer. Resulta que estoy haciendo un trabajo este verano sobre el postulado de Bertrand, que afirma:

Para todo número natural n > 1 existe un número primo p tal que n < p < 2n

La demostración es algo complicada, y seguramente le dedicaré un artículo cuando haya acabado el trabajo. Sin embargo, es mucho más simple si nos creemos la conjetura de Goldbach. Y ese es el problema que propongo:

Asumiendo la conjetura de Goldbach, demostrar el postulado de Bertrand

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10 comentarios to “[Problema] De Goldbach a Bertrand”

  1. baltor Says:

    Un problema majo, ya era hora de que actualizaras, ahí va mi demostración:

    Si tomamos como cierta la conjetura de Goldbach tenemos que para todo n existen p<=p' tales que 2n=p+p' y n<=p'<2n, donde p y p' son primos.

    Si n es compuesto implica que n<p<2n.

    Si n es primo entonces n+1 será compuesto y por lo tanto existe q y q' primos tales que 2n+2=q+q', q<=q' por lo que n+1<=q'<2n+2, q' no puede ser 2n+1 ya que q sería 1, y tampoco puede ser 2n porque es compuesto, por lo que tenemos que existe un primo q' tal que n+1<=q'<2n o lo que es lo mismo n<q'<2n.

  2. lucagali Says:

    Genial, qué poco ha durado el problema. La solución es estupenda, te falta distinguir el caso n=2 pero es obvio jeje.

    He pensado un modo de hacerlo un poco más corto, aunque esencialmente es el mismo razonamiento:

    Por Goldbach, existen q\leq q' primos con 2n+2 = q+q'. Debe ser q'\geq n+1. Además, q' \neq 2n+2, q'\neq 2n ya que estos son números pares, y por tanto compuestos. Tampoco puede ser q'=2n+1 porque entonces q=1. En definitiva n+1 \leq q' < 2n y por tanto n < q' < 2n

  3. lucagali Says:

    Por cierto, para poner una fórmula en \LaTeX basta escribir $ latex aquí va el codigo $, sin el espacio entre $ y latex

  4. Kiphox Says:

    Pensaba que ibas a hacer el trabajo sobre el teorema de los números primos. No se qué demostración habrás cogido pero si te sirve de ayuda el libro “El libro de las demostraciones” lo tienes en la biblioteca de matemáticas y tienes la demostración que dió Paul Erdös. Yo la he estado viendo estos últimos días y es muy sencilla. Espero que te vaya bien y saludos.

  5. lucagali Says:

    Si, el trabajo va sobre el teorema de los números primos, lo de Bertrand es una cuestión secundaria. La demostración que estoy viendo utiliza análisis complejo y no me entero casi de nada, asi que esa me vendría genial. Si puedo me pasaré por la facultad para cogerlo, muchas gracias

    ¿Tú estás haciendo algún trabajo?

  6. Kiphox Says:

    Si hago algo será relacionado con ese libro. Por cierto, os invito a que le echeis un vistazo a este artículo reciente de arxiv http://arxiv.org/abs/1007.3659 donde el autor cree demostrar la conjetura de Goldbach. La idea está muy bien pero a partir de la tercera-cuarta página no entiendo la cota inferior de particiones que va obteniendo, cuando dice A=(1/3)*(3/5)*n-4 y conforme va añadiendo números a tener en cuenta va dividiendo. Yo no he conseguido entenderlo, yo lo que haría sería restar en lugar de dividir pero entonces no obtienes una cota inferior suficientemente pequeña. Si alguien lo entiende que lo explique, si el artículo está bien entonces es una prueba brillante.

  7. yoyo Says:

    $latex 2x + 1

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  10. Anónimo Says:

    Sean los intervalos (0,n) y (n,2n); la suma de dos números menores que n será menor que 2n; la suma de dos números mayores que n será mayor que 2n… Por tanto, es imposible que dos números de un mismo intervalo sumen 2n. Pero… queda un caso, dejo por demostrar lo que falta, que, de cumplirse la conjetura fuerte, no existe un caso donde la suma de primos que dé el par sea únicamente del tipo 2p=p+p (o sea, con n=p); es decir, para acabar la demostración hay que demostrar que, al menos, existe un una suma de primos igual a 2n y distinta de p+p

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