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Eratóstenes y el radio de la tierra

29 junio 2010

La luz viaja a 299.792,458 kilómetros por segundo. La temperatura en la superficie del Sol es de 6000ºK. La Tierra tiene un radio de 6371 km y una masa de 6×1024 kg

Todo eso lo dice la Wikipedia. Pero, ¿cómo nos hemos conseguido medirlo? No se puede poner un termómetro en el Sol y mirar cuanto marca, ni poner la Tierra en una balanza. Es gracias a experimentos indirectos y cálculos matemáticos como conocemos esos datos.

Este post inicia una serie en la que intentaré explicar cómo llegamos a conocer a lo largo de la Historia hemos ideado experimentos cuyas conclusiones permiten conocer esos datos. En concreto, hoy hablaremos sobre el griego Eratóstenes, que calculó el radio de la Tierra ¡hace más de 2000 años!

A partir de aquí adapto lo que se dice en el maravilloso libro Viaje a través de los genios, de William Dunham:

No conocemos a ciencia cierta el procedimiento de Eratóstenes puesto que el tratado original Sobre la medida de la Tierra se ha perdido. Sin embargo, parece que su razonamiento fue el siguiente:

En la ciudad egipcia de Siena, al sur de Alejandría, el Sol caía directamente sobre la cabeza el primer día de verano. Si mirabas al fondo de un pozo en ese momento, quedabas cegado por el reflejo del Sol en el agua.

Al mismo tiempo, ese mismo día, un poste en Alejandría producía una sombra pequeña. Eratóstenes observó que el ángulo α formado por la punta de un poste y la línea de su sombra era 1/50 de un círculo completo (unos 7º). Suponiendo que Alejandría estaba al norte de Siena (lo cual era correcto, más o menos) y que el Sol estaba tan lejos de la Tierra que sus rayos llegaban en líneas paralelas (otra suposición razonable), Eratóstenes concluyó que el ángulo AOS de la figura también era igual a α .

Por último, sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5000 estadios (había contratado a un hombre para que midiera los pasos).

Esos eran todos los ingredientes. Ahora una simple proporción:

\displaystyle\frac{\text{Distancia de Siena a Alejandria}}{\text{Circunferencia de la Tierra}} = \frac{\text{Angulo } \alpha}{\text{Angulo total alrededor del circulo}}

Es decir, si llamamos L a la longitud de la circunferencia de la Tierra, nos queda:

\displaystyle\frac{5000 \text{ estadios}}{\text{L}} = \frac{1}{\text{50}}

Y por tanto la circunferencia de la Tierra mide 25.000 estadios. Ahora bien, no está muy claro lo que mide un estadio. Parece ser que para Eratóstenes eran 158 metros, por lo que el valor obtenido sería 250000\cdot 0.158 = 39500 kilómetros.

Si también queremos saber el radio, como L = 2\pi r nos queda que r = 39500 / 2\pi \approx 6287 \text{ kilometros}. El dato actualmente aceptado es de 6371 kilómetros, de modo que el griego estuvo sorprendentemente cerca, tanto que seguramente se deba a afortunados errores de cálculo. De todos modos es impresionante. ¡Midió el radio de la tierra mirando la sombra de un palo!

La forma de razonar de Eratóstenes es digna de admirar, no sólo por ser capaz de lograr un resultado tan importante con los escasos medios de que disponía , sino también por el sorprendente hecho de que no abrigó ninguna duda acerca de la esfericidad de nuestro planeta. Sin embargo, los marinos europeos de 15 siglos después tendrían miedo de caerse por el extremo de una Tierra plana. A veces olvidadmos que los antiguos griegos estaban completamente seguros de la forma esférica de la Tierra.

Bonus: El gran Carl Sagan (del que ya hemos hablado aquí alguna vez)  explica perfectamente el razonamiento de Eratóstenes en este video:

Fuentes:

Dunham, William. Viaje a través de los genios