Archive for 26 agosto 2009

Navegando con el arco capaz

26 agosto 2009

Esta semana he estado ayudándole a mi hermano con su examen de dibujo técnico. Una de las cosas que le entra es el arco capaz.
Hablaremos hoy de lo que es y de una interesante aplicación del mismo para situarnos en un mapa.

El arco capaz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento con un ángulo determinado. O lo que es lo mismo, el conjunto de los puntos del plano tales que el ángulo con vértice en ese punto y cuyos lados pasan por los extremos del segmento mide un determinado valor. Un dibujo lo aclara:

Arco capaz 1Todos los ángulos que tengan su vértice en la circunferencia anterior y cuyos lados pasen por A y B medirán 60º. Es lo que ocurre, por ejemplo, con \hat{ACB} y \hat{ADB}, marcados en azul y rojo respectivamente.

En la figura anterior hemos hecho aparecer el arco directamente, pero ¿cómo se llega hasta él?

La construcción del arco capaz, de un ángulo \alpha, de un segmento AB es la siguiente:
-Se traza la mediatriz de AB (en el dibujo inferior aparece con línea de trazo-punto)
-Se traza una recta r tal que el segmento AB forme un ángulo \alpha con ella. En el ejemplo, he colocado un ángulo de 60º.
-Se traza la perpendicular a la recta r.
-El punto O de corte de dicha perpendicular con la mediatriz es el centro del arco buscado.
-Finalmente, se traza el arco de centro O y radio OA

Construcción

Pero, ¿por qué funciona? La demostración no se suele enseñar en dibujo técnico, por lo menos a mi no me la explicaron, aunque es elemental.Necesitamos antes unos conceptos básicos de geometría:

Ángulo central es que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Sus lados son radios y mide el arco que abarca de la misma. Por ejemplo, el ángulo \hat{AOB} del dibujo inferior, marcado en verde.
Ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia, y los lados son rectas secantes. Mide la mitad del arco que abarca. En el dibujo, es \hat{ACB}, marcado en rojo, y por lo que acabamos de decir mide la mitad de \hat{AOB}

Ángulos central e inscrito

Volvamos ahora a la construcción. El triangulo AOB (en azul) es isósceles, por estar O en la mediatriz de AB. Por tanto, \hat{BAO} = \hat{ABO}. Además, \hat{BAO}+\alpha = 90, por ser la perpendicular.

Demostración
Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, tenemos que :

180 = \hat{AOB} + \hat{BAO} + \hat{ABO} = \hat{AOB} + 2\hat{BAO} \\ \:\:\:\: = \hat{AOB} + 2\cdot (90-\alpha)

Por lo que \hat{AOB} = 2\cdot\alpha Y como un ángulo incrito mide la mitad del ángulo que abarca, tenemos que \hat{APB} = \hat{AOB}/2 = \alpha, para un punto P cualquiera de la circunferencia, que es lo queríamos demostrar.

El concepto de arco capaz es muy útil, por ejemplo, en problemas de resolución de triángulos. Hoy vamos a ver una aplicación más práctica de la que me acordé el otro día estando en la playa. Imaginemos que estamos navegando en un barco y queremos saber nuestra posición, puesto que cerca de donde estamos hay un banco de arena* donde se nos podría quedar encallado. Nos asomamos por la borda y vemos el faro de Cabo Palos, cuya foto abre este post, y algo más a la izquierda (perdón, a babor) el faro de las islas Hormigas. También apreciamos isla Grosa, a nuestra espalda. El lector sagaz ya se habrá podido imaginar que nos encontramos cerca de las costas de La Manga del Mar Menor.
Pues bien, con estos tres puntos que tenemos identificados, y algún instrumento para medir el ángulo entre ellos, es suficiente
para encontrar nuestra posición en el mapa, ¡sin medir distancias ni efectuar ningún cálculo!

Imaginemos que los ángulos en cuestión son 130º entre isla Grosa y el faro de Cabo Palos y 30º entre éste y las Hormigas.
Basta entonces localizarlos en el mapa, trazar los segmentos entre ellos y realizar el sencillo proceso de construcción de
sus respectivos arcos capaces antes explicado (click para ver el mapa ampliado):

Mapa

Sólo hay un punto en el que se cortan los dos arcos: allí estamos. Podemos corregir el rumbo para evitar el banco de arena
y proseguir nuestro tranquilo paseo marítimo.

¡Quién necesita un GPS, teniendo regla y compás!

*Realmente hay un peligroso banco de arena cerca de las islas Hormigas. En él se han producido numerosos naufragios, entre ellos
el del trasatlántico Sirius en 1906, en el que murieron más de 200 personas y que es el mayor acaecido en el mar Mediterráneo. Más información en 1 y 2.

Mozilla amplía fronteras

24 agosto 2009

Como el negocio de los navegadores se les estaba quedando pequeño, Mozilla ha decidido extenderlo creando los Extintores Firefox

Extintor Firefox

Bonus: Los carteles rojos evitan que algún despistado se confunda entre mangera y extintor.

Visto en el piso de mis abuelos en La Manga del Mar Menor.

La Guardia Civil y el teorema de Lagrange

17 agosto 2009

La semana pasada leí que la Guardia Civil iba a empezar a instalar nuevos radares en las carreteras, que midiesen ademmás el tiempo transcurrido al recorrer una determinada distancia. Esto permitirá multar a conductores que sobrepasen el límite establecido aunque no se les haya fotografiado hacíendolo, gracias a un importante resultado matématico. Se trata de un sistema mucho más potente porque se controla la velocidad en un tramo de varios kilómetros, no en un punto determinado.

Por ejemplo, se va a instalar un radar a la entrada del tunel de Guadarrama y otro a su salida. Supondremos que el túnel mide 3km y que en el mismo la velocidad está limitada a 100 km/h.

Imaginemos que un vehículo entra en el túnel. El primer radar mide una velocidad de 90km/h. El segundo, de 85km/h. Con los antiguos radares, todo estaría correcto. Sin embargo, estos miden un dato más: cuando el coche entra en el túnel se pone en marcha un cronómetro, que para cuando el segundo radar detecta su salida. En nuestro supuesto, ha tardado 90 segundos.
La decisión entonces es clara: multa y unos cuantos puntos menos. Veamos por qué:

Podemos representar en una gráfica la posición del vehículo en función del tiempo transcurrido desde que entra en el túnel. Como lo normal es que vaya hacia adelante, se trata de una función creciente, más o menos así:

imagen1

Sabemos que \text{velocidad\ media} = \frac{\text{espacio\ recorrido}}{\text{tiempo\ transcurrido}}.
Se trata de un dato fácil de calcular, puesto que el espacio es lo que mide el túnel (3km) y el tiempo lo miden entre el radar situado a la entrada y el de la salida (90s = 0.025h). Por tanto \text{velocidad\ media}= \frac{3}{0.025} = 120 km/h

Esto sobrepasa la velocidad permitida en el túnel, que hemos supuesto de 100km/h. Sin embargo, no se ha detectado que el conductor sobrepase el límite en ningún momento, las velocidades detectadas por los radares eran adecuadas. Entonces, ¿se le puede multar?

La respuesta es clara: sí, es totalmente seguro que ha ido a más velocidad de la debida. Y gracias a las Matemáticas, concretamente al Análisis matemático. Un resultado de este, el teorema de Lagrange, garantiza que si el vehículo ha desarrollado una determinada velocidad media, en algún momento de su trayecto iba justo a esa velocidad. Por tanto, si la velocidad media es de 120 km/h, en algún momento ha tenido que sobrepasar el límite. Y la Guardia Civil le pone la multa.

Los matemáticos, que nos gusta escribir más raro, expresamos este resultado así:
Sea f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una función continua y derivable en (a,b).
Entonces existe un punto c\in(a,b) tal que f(b)-f(a) = f'(c) \cdot (b-a)

O lo que es lo mismo, la pendiente de la recta tangente a la grafica en un punto (que vale f'(c) ) es igual a la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (que es la velocidad media)

Veámoslo en un lenguaje más asequible.

imagen2

Antes hablábamos de velocidad media. Puesto que esta es espacio entre tiempo, coindide con la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (en azul en la imagen anterior). Lo cual tiene su lógica, puesto que a más recorrido en menos tiempo la pendiente será más inclinada.

imagen3

Pero también hay otra manera de medir la velocidad, y es la que marca en cada momento el cuenta kilómetros del coche. Gráficamente, ésta queda representada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cada punto (en rojo en la imagen).
De este modo, vemos como el conductor entró al túnel con una velocidad reducida para evitar el radar, luego aceleró durante el  túnel y finalmente volvió a reducir la velocidad a la salida, donde está colocado el otro radar.

Aceptando el teorema de Lagrange (no lo voy a demostrar aquí), lo que nos dice gráficamente es que en algún punto la recta tangente a la gráfica es paralela a la que une el principio y el fin de la gráfica. Por ejemplo:

imagen4

Y si son paralelas, tienen la misma pendiente, por lo que la velocidad a la que iba en ese punto es la misma que la velocidad media. Es decir, hemos probado que en algún momento el conductor ha ido a 120 km/h, aunque no lo hayamos visto directamente.

¿Quién decía que las matemáticas no tenían aplicación? 😉

Solos

15 agosto 2009

Si estamos solos en el Universo, seguro que sería una terrible pérdida de espacio

Carl Sagan

Autocontrol

6 agosto 2009

Siento lo poco que actualizo el blog últimamente, pero el verano es lo que tiene. Vamos con una chorrada mientras preparo post más matemáticos…

autocontrol

Como diría Sheldon: ¿Eso es sarcasmo?