¿Está usted de broma, sr. Feynman?

26 marzo 2010

Richard Feynman es probablemente mi científico preferido. Además de tocar los bongos con tanta alegría, colaboró en el proyecto Manhattan y fue Premio Nobel de Física por su trabajo en electrodinámica cuántica (que empezó como un estudio de los bamboleos de una bandeja de cafetería) y declarado deficiente mental por el ejército de los Estados Unidos (sic). Como podeis imaginar era un tipo peculiar.

Él mismo cuenta muchas más anécdotas absolutamente geniales en su autobiografía ¿Está Vd. de broma, sr. Feynman?, que es uno de los libros más entretenidos que he leído y que recomiendo encarecidamente a todo aquel que tenga interés por la ciencia. (¿No lo has leido? ¿Estas haciendo algo importante? No lo creo, si estás leyendo esto. Así que ve a la biblioteca más cercana y pídelo)

En el magnífico blog Historias de la ciencia ya han hablado un montón de veces de él. Extraigo un fragmento del libro que me gustó mucho, en parte porque me recordó al ambiente de mi facultad, y en el que Feynman se dedica a tomarle el pelo a sus compañeros matemáticos:

En Princeton, los departamentos de física y matemáticas compartían una misma sala de tertulia, donde todos los días se servía té a las cuatro. Era una forma de descansar y relajarse un poco por la tarde, nos sentábamos a jugar al Go o a analizar teoremas. En aquellos días, el último grito en matemáticas era la topología.

Recuerdo todavía a uno de aquellos tipos, sentado en el sofá, concentrado al máximo, mientras otro de pie frente a él le decía: “Y por consiguiente, se verifica tal y tal.”

“¿Y eso, por qué?”, pregunta el del sofá.

“¡Es trivial! ¡Es trivial! – dice el sabio de pie. Y rápidamente empieza a largarle al otro una serie de pasos lógicos –. Supongamos primero que tal y tal cosa. Entonces tenemos, por el lema de Kerchoff, que esto y eso. Después, por el teorema de Waffenstoffer, sustituyes esto por esto, y construyes esto otro. Ahora se coge el vector que va por aquí, y entonces, por lo tanto…” El tipo del sofá luchando por comprender todo aquel rollo y el otro que sigue largando a toda pastilla durante un cuarto de hora. Por fin, el que está de pie asoma por el otro lado el túnel y va y dice: “¡Ya, ya, ya! ¡Es trivial!”

Nosotros, los físicos, nos partíamos de isa, y viendo aquello, nos pusimos a tomarles el pelo. Llegamos a la conclusión de que para los matemáticos “trivial” significaba “demostrado”. Así empezamos a meternos con ellos diciendo: “Los físicos tenemos un teorema nuevo, a saber, que los matemáticos solamente pueden demostrar teoremas triviales, porque todos los teoremas que demuestran son triviales.”

Nuestro teorema no les hacía gracia, y yo aprovechaba para picarlos. Les decía que en matemáticas nunca hay nada verdaderamente sorprendente, que lo único que demostraban son cosas obvias.

A los matemáticos, la topología no les resultaba nada evidente. Había toda clase de extravagantes posibilidades, “contrarias a la intuición”. Entonces tuve una idea. Los desafié: “Apuesto a que no hay ni un solo teorema que podáis contarme sin vuestra jerigonza (es decir, que enunciéis las  hipótesis y el contenido del teorema en términos que se puedan entender) del que yo no sea capaz de deciros inmediatamente si es verdadero o falso.”

Con frecuencia, la cosa se desarrollaba así: “Tienes una naranja, ¿vale? Ahora se corta la naranja en un número finito de trozos, se vuelve a recomponer, y tiene el tamaño del Sol. ¿Verdadero o falso?.”

“¿Maciza? ¿Sin huecos, ni poros?”
“Maciza.”
“¡Imposible! ¡No existe nada por el estilo!”
“¡Ja! ¡Ya le hemos pillado! ¡Qué venga todo el mundo! ¡Es el teorema de Fulano y Mengano sobre descomposición en partes no medibles!”

Y justo cuando pensaban que me tenían cogido, voy y les recuerdo: “Vosotros dijisteis una naranja. No se puede cortar la piel de una naranja en capas más finas que sus átomos.”
“Pero tenemos la condición de continuidad. ¡Podemos seguir cortando indefinidamente, tan finamente como queramos!”
“No, dijisteis
naranja. Así que yo di por hecho que se trataba de una naranja de verdad.”

De este modo les ganaba siempre. Si mi conjetura era correcta, estupendo. Si no, podía agarrarme a algún aspecto que ellos, en sus simplificaciones, habían dejado de lado.

En realidad, mis conjeturas tenían en cierta medida genuina calidad. Conforme me van diciendo las condiciones del teorema, voy construyendo mentalmente objetos que se acomoden a esas condiciones. Por ejemplo, tenemos un conjunto (una bola) otro disjunto (dos bolas). Después,  las bolas adquieren colores, o les salen pelos, o lo que sea, conforme les voyt imponiendo mentalmente condiciones. Finalmente, enuncian la tesis, que es alguna bobada referente a la bola, y que no se verifica en mi bola verde peluda, así que les digo: “Falso”.

Si el teorema es verdadero, empiezan a armar revuelo, y yo les dejo seguir un ratito. Después les doy mi contraejemplo.
“¡Ah! ¡Es que olvidamos decirte que era de clase 2 Hausdorff-homeomórfico!”
“¡Ah, bueno! En tal caso… ¡en tal caso es trivial! ¡Es trivial!” Claro, sin darse cuenta, me acaban de descubrir el juego. ¡Qué sé yo qué significa “clase 2 homoemófico”.

¿Moral o inmoral?

9 marzo 2010

Cuando les comenté a mis compañeros de matemáticas que si querían podían colabarar con este blog lo último que me esperaba es que mi amigo Gante me enviara un texto sobre la moral. Se sale totalmente de la línea del blog, pero me ha gustado, así que aquí está.

¿Qué es la inmoralidad? Empiezo a pensar que la palabra en sí está mal construida desde un punto de vista etimológico ya que el inmoral no es aquel que rechaza la moral, que niega la existencia de la misma, sino aquel que rechaza la moral establecida por la sociedad, la moral pública. Por tanto, el inmoral rechaza la moral pública pero no niega la existencia de una moral, es entonces aquel que crea su propia moral. El inmoral es aquel que desecha los valores establecidos y crea los suyos propios para decidir qué es lo correcto y qué no. En cambio, aquel que rechaza toda existencia de moral y, por tanto, rechaza las ideas del bien y del mal, aquel es llamado amoral. Los amorales a menudo mantienen que la moral limita nuestros actos, de manera que nos sentiríamos inclinados a hacer algo que no queremos hacer sólo porque pensamos que debemos o dejamos de hacer algo porque lo consideramos “malo” o incorrecto.

Cada persona tiene unos objetivos y en función de ellos debe crear su propia moral, no creo que nadie pueda llegar a sentirse realizado totalmente bajo el yugo de una ley impuesta al alma, pues no hay menor libertad que la que te impide hacer algo por la vergüenza o el remordimiento. Cada persona debe indagar en su interior e ir preguntándose qué considera correcto y porqué para así llegar  a la conclusión de cuales son sus verdaderos objetivos, y conforme los vaya descubriendo ir creando de ellos una moral propia, una ley que diga: lo que me acerca a mis objetivos está bien, lo que me aleja de ellos está mal. ¿Por qué sentirse mal si nuestros verdaderos objetivos son algo aparentemente vacío, animal e instintivo? Al fin y al cabo el hombre es un animal y no debe confundirse por la idea inculcada de que tiene que ser algo más profundo; tiene que ser cómo le apetezca ser, más profundo o más instintivo según le nazca. No puede sentirse superficial porque sus ideas sean calificadas de tal manera por una sociedad que en ocasiones lo reprime, o quizá deba sentirse superficial porque así son sus ideas, pero no sentirse mal por ello; más mal habría de sentirse  toda persona por reprimir esos instintos que son lo más básico, natural y puro que va a salir de ella, más mal habría de sentirse por negar esos deseos banales que tiene. El problema es esa “humanidad” asimilada que dice que el humano es superior al resto de animales y, siendo esto cierto, intenta ocultar que sigue siendo un animal a pesar de ello. Esa humanidad que le dice al hombre que no puede comportarse como un animal porque no es como ellos, que los instintos son mentira, que los sentidos le confunden. Esto tampoco debe malinterpretarse, debemos hacerle caso a la razón, pero no debemos renegar de nuestros instintos. No se trata de entregarnos al hedonismo, se trata de rechazar la humanidad.

La moral pública, la moral de rebaño, dice que todos los hombres son iguales, hermanos ante Dios, pero ¿no es cierto que muchos ya no creen en el Dios cristiano? ¿No es cierto incluso que algunos incluso nieguen su existencia? ¿Por qué entonces todos siguen comportándose como buenos cristianos? En algunos aspectos ya muchos no lo hacen pero cierto es que todos siguen respetándose mas o menos entre ellos como iguales y sin embargo no parece que haya demasiados que, renegando del Dios cristiano, supieran argumentar porqué deben tratar al prójimo con respeto, porqué deben cuidarlo, porqué es un igual si ya no es un hermano. ¿Por qué? Y uno podría decir:

– No debo hacer al prójimo lo que no me gusta que me hagan a mí.

Y volvería a preguntarle:

– ¿Por qué no debes?

Y quizás me respondería:

– Porque no me nace, instintivamente siento que debo respetarlo.

Y sería una buena respuesta (“Porque sí” sería una mala respuesta) pero supongamos entonces una situación en la que un individuo hace algo que agrada a un segundo individuo. El segundo individuo se sentiría en necesidad de devolverle al primero algo igual de “bueno” que lo que ha recibido. Realmente sería más correcto hacerle al primero lo que él (con su propia moral no cristiana) considera bueno, realmente lo que sentimos es la necesidad de agradar al que hizo algo que nos agradó. De forma que el agradecido intentará devolverle al primer individuo algo cualitativamente igual a lo que ha recibido.

¿Pero es esto así realmente? Creo no ser el único que alguna vez ha sentido la necesidad de devolver algo mucho mejor que lo recibido, o al contrario, si recibo un puñetazo (por ser más concretos) lo que deseo es pegarle una paliza al que me lo dio, pero no devolverle otro puñetazo de igual potencia en el mismo lugar donde recibí el impacto.

Por tanto el punto de vista de “no debo hacer al prójimo lo que no me gusta que me hagan a mi” es obsoleto y aplicable sólo a situaciones muy generales. Como dicen el marxismo y el historicismo, el mundo no se rige por valores medibles, al menos no en general, ya que la medida de esos valores cambia con el tiempo y es sólo válida en cada momento.

Lo recuerdo como si estuviera allí…

16 enero 2010

Piensa en una experiencia de tu infancia, algo que recuerdes con claridad, algo que puedas ver, sentir, quizás incluso oler como si estuvieras allí realmente. Después de todo, realmente estuviste allí en ese momento, ¿no? ¿De qué otra manera lo recordarías? Pero aquí viene la sorpresa:  no estuviste allí. Ni un solo átomo que está en tu cuerpo hoy estuvo allí cuando ocurrió ese suceso. La materia fluye de lugar en lugar y momentáneamente se reune para ser tú. Lo que sea que eres, por tanto, no eres la materia con la que estás hecho. Si eso no te eriza el cabello de la nuca, léalo de nuevo hasta que lo haga, porque es importante.

Steve Grand, vía La aldea irreductible

El lagarto que lanza sangre por los ojos

13 enero 2010

Hay animales con mecanismos de defensa bastante extraños, pero no había visto nada como lo del lagarto cornudo.  Habita en zonas áridas del sur de Estados Unidos y México y tiene un tamaño de unos 5-10 cm. Lo peculiar es que, cuando se siente amenazado, incrementa el flujo de sangre a la cabeza, aumentando la presión en los pequeños vasos sanguíneos dentro de sus ojos. En el momento oportuno, que la presión rompe los vasos e impulsa un chorro de sangre hasta a un metro y medio de distancia.

En el vídeo lo podéis ver en acción:

Fuente: 8 ingeniosas formas con las que los animales engañan a los depredadores (en inglés) y los documentales de la Sexta.

Calcular cuadrados de forma rápida

9 enero 2010

En el video que puse en el último post el matemago Arthur Benjamin explicaba su método para calcular mentalmente cuadrados de números de dos cifras de forma rápida. Bueno, en realidad él se los sabe de memoria, pero el método es bastate útil.

El método es el siguiente: Tomamos un número de dos cifras, por ejemplo el 73. La decena más cercana es el 70.  La diferencia es de 3 unidades así que también subimos otras 3 para llegar al 76.
Ahora multiplicamos 76*70, que es fácil hacer de cabeza, y sumamos la diferencia anterior (3) al cuadrado:

76 \\ \textbf{73} \rightarrow 76\cdot 70 + 3^2 = 5320 + 9 = \textbf{5329} \\70

Otro ejemplo:

60 \\ \textbf{56} \rightarrow 60\cdot 52 + 4^2 = 3120 + 16 = \textbf{3136} \\ 52

Con un poco de práctica se puede hacer bastante rápido. Eso sí, como recomienda el matemago hay que hacer todas las multiplicaciones de izquierda a derecha, al revés de cómo las haríamos en papel.

Ejercicio: ¿Por qué funciona este método? Espero vuestras respuestas…

El matemago Arthur Benjamin

6 enero 2010

Hace un tiempo descubrí la existencia del World Science Festival que, como no podía ser de otra manera, es un evento bastante chulo donde uno se lo puede pasar en grande con cosas como ésta cacatúa bailarina:

En su web hay un montón de vídeos interesantes que ver. De momento he visto titulado “The Mathemagician” (El matemago), que me llamó muchísimo la atención, no sé, será porque estudio matemáticas y me encanta la magia :). Bueno, el caso es que está muy interesante, porque además Arthur Benjamin, que es el matemago en cuestión, explica como se hace (casi) todo.

En el vídeo lo vemos haciendo un truco de cartas bastante chulo, calculando rápidamente cuadrados de números de hasta ¡cinco! cifras o adivinando el día de la semana en el que cayó una determinada fecha. Está en inglés, pero hasta yo lo entiendo bastante bien así que no deberíais tener muchos problemas. Altamente recomendable.

Si os ha gustado, podéis ver las otras tres partes.

Playmobil

4 enero 2010

Qué mejor manera de empezar el año que con un chiste:

Entra un playmobil a un bar y le dice al camarero:
– Una fanta, por favor
– ¿De naranja o de limón?
– Da igual, es para tirármela por la espalda…

Me lo contaron hace poco y me parece genial (ya sabeis el gusto que tengo) 🙂

¿Cuánto vale 0 elevado a 0?

27 diciembre 2009

Desde el colegio nos enseñan que cero elevado a cualquier número positivo es cero (0^a = 0, para todo a>0). Poco después se estudia algo que cuesta un poco más aceptar, y es que cualquier número elevado a cero es uno (a^0 = 1, para todo a\neq 0).

Entonces, cabe preguntarse ¿cuánto vale 0^0? Mi calculadora científica dice que 0^0 = \text{Math ERROR}. Sin embargo, no siempre debemos fiarnos de las calculadoras, no tenéis más que poner (10^{18} + 1) - 10^{18} y vereís como dice que vale 0.

Pues bien, existe un valor totalmente coherente con el que definir 0^0. Y es el \lim_{x\to 0}x^x, que sale 1 usando la Regla de L’Hôpital. En Gaussianos hicieron esto hace algún tiempo y dio lugar a un intenso debate.

Pero podemos aspirar a más, no solo a definir 0^0 como 1 y que todo funcione, sino a demostrar que 0^0 = 1, y además usando únicamente técnicas de teoría de conjuntos. Eso es lo que he encontrado en El Topo Lógico (blog que recomiendo, por cierto).

En resumen, lo que se hace en dicha web es lo siguiente (recomiendo visitar el original):

Dado un conjunto finito, se llama cardinal su número de elementos. Podemos definir los números naturales como el cardinal de los conjuntos finitos. Así, por ejemplo, 0 sería el cardinal del conjunto vacío (\emptyset), 1 el de los conjuntos con un elemento, etc.

En teoría de conjuntos se demuestra que el número (mejor el cardinal) de aplicaciones (o funciones) que hay entre un conjunto A y otro conjunto B es precisamente el cardinal de B elevado al cardinal de A: card(B)^{card(A)}.

Por ejemplo, dados los conjuntos \{a,b,c\} y \{x,y\}, existen 2^3 = 8 aplicaciones entre ellos.

Por todo ello, el número de aplicaciones del conjunto vacío en el conjunto vacío debe ser card(\emptyset)^{card(\emptyset)} = 0^0. Pero, ¿cuantas de estas aplicaciones existen? Pues únicamente la aplicación identidad (para los que sepan un poco más, esta aplicación puede ser vista como el conjunto vacio, que es un subconjunto de las partes de \emptyset \times \emptyset que cumple la definición de aplicación).

Por tanto, 0^0 = 1 \ \ \ \ \square

Árbol de navidad matemático

24 diciembre 2009

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 =12345678987654321

(visto en esquizopedia)

¡Felíz Navidad y próspero 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67!

El mate de Légal

21 diciembre 2009

El ajedrez está más cerca de las Matemáticas que cualquier otro juego.

Anatoli Kárpov, vía Gaussianos.

Si se entra a la cafetería de una facultad española, es bastante probable que se esté jugando una partida de mus. En Matemáticas es distinto, porque lo que más se ve son partidas de ajedrez. Gracias a eso, yo, que no había jugado más de diez partidas en mi vida, últimamente me he aficionado bastante. Y me siguen ganando todos mis compañeros, pero ya les cuesta más trabajo.

Así que voy a hablar de un mate que me gusta mucho y que aparece en todos los libros de ajedrez para principiantes: El mate de Légal.

El Café de La Régence

Kermur de Légal fue uno de los más famosos jugadores de Francia durante el siglo XVIII. En el parisino Café de la Regence, un importante lugar de reunión para los ajedrecistas (casi tanto como nuestra facultad) tuvo lugar la siguiente partida:

Kermur de Légal – Saint-Brie
París 1787

1. e4          e5
2. Cf3       d6

Esta forma de defender el peón en e5 se conoce como Defensa Philidor (André Philidor fue otro ajedrecista francés, alumno de Légal, a quien le arrebataría la corona de campeón mundial).

3. Ac4       Cc6
4. Cc3       Ag4

Se dice que en este momento Légal tocó su caballo de f3 y Saint-Brie le invitó a jugarlo,  según la regla de pieza tocada, pieza jugada. Se levantó un murmullo entre los mirones que presenciaban la partida, pues estaba claro que si Légal jugaba, perdería la dama. Finalmente, el maestró jugó

5. Cxe5?       …

Ahora, si las negras juegan 5. … Cxe5, quedan con un caballo de ventaja, a cambio de un peón. Sin embargo, la tentación de eliminar la dama del tablero era demasiado fuerte para un jugador que no podía aspirar a derrotar a un campeón como Légal, de modo que se abalanzó sobre ella…

5. …      Axd1??


… cayendo en una trampa mortal:

6. Axf7+       Re7
7. Cd5++

Lo que no sabemos es si realmente Légal tocó el caballo sin darse cuenta, o si lo hizo precisamente para plantear esta trampa, despistando por completo a su adversario.

Fuentes:
Escuela de Ajedrez
, de Antonio Guide
La pasión del Ajedrez

Nota: Las imágenes de los tableros están hechas con el paquete skak de \LaTeX