Archive for the ‘Matemáticas’ Category

Poincaré

1 diciembre 2010

Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática.

Henri Poincaré

Nada que añadir. Bueno sí, gracias a Ricardo.

[Problema] De Goldbach a Bertrand

23 julio 2010

Uno de los resultados sin demostrar más conocidos de las Matemáticas es la conjetura de Goldbach. En 1742, el matemático Christian Goldbach le escribió una carta al gran Euler en la que le proponía el siguiente problema:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Por ejemplo, 16  = 5 + 11, 26 = 13 + 13, 32 = 29 + 3, etc.

Los mejores matemáticos del mundo llevan tres siglos intentando demostrar la verdad o falsedad de esta conjetura, y aún no lo han conseguido.

Está claro, entonces, que éste no es el problema que quiero proponer. Resulta que estoy haciendo un trabajo este verano sobre el postulado de Bertrand, que afirma:

Para todo número natural n > 1 existe un número primo p tal que n < p < 2n

La demostración es algo complicada, y seguramente le dedicaré un artículo cuando haya acabado el trabajo. Sin embargo, es mucho más simple si nos creemos la conjetura de Goldbach. Y ese es el problema que propongo:

Asumiendo la conjetura de Goldbach, demostrar el postulado de Bertrand

Eratóstenes y el radio de la tierra

29 junio 2010

La luz viaja a 299.792,458 kilómetros por segundo. La temperatura en la superficie del Sol es de 6000ºK. La Tierra tiene un radio de 6371 km y una masa de 6×1024 kg

Todo eso lo dice la Wikipedia. Pero, ¿cómo nos hemos conseguido medirlo? No se puede poner un termómetro en el Sol y mirar cuanto marca, ni poner la Tierra en una balanza. Es gracias a experimentos indirectos y cálculos matemáticos como conocemos esos datos.

Este post inicia una serie en la que intentaré explicar cómo llegamos a conocer a lo largo de la Historia hemos ideado experimentos cuyas conclusiones permiten conocer esos datos. En concreto, hoy hablaremos sobre el griego Eratóstenes, que calculó el radio de la Tierra ¡hace más de 2000 años!

A partir de aquí adapto lo que se dice en el maravilloso libro Viaje a través de los genios, de William Dunham:

No conocemos a ciencia cierta el procedimiento de Eratóstenes puesto que el tratado original Sobre la medida de la Tierra se ha perdido. Sin embargo, parece que su razonamiento fue el siguiente:

En la ciudad egipcia de Siena, al sur de Alejandría, el Sol caía directamente sobre la cabeza el primer día de verano. Si mirabas al fondo de un pozo en ese momento, quedabas cegado por el reflejo del Sol en el agua.

Al mismo tiempo, ese mismo día, un poste en Alejandría producía una sombra pequeña. Eratóstenes observó que el ángulo α formado por la punta de un poste y la línea de su sombra era 1/50 de un círculo completo (unos 7º). Suponiendo que Alejandría estaba al norte de Siena (lo cual era correcto, más o menos) y que el Sol estaba tan lejos de la Tierra que sus rayos llegaban en líneas paralelas (otra suposición razonable), Eratóstenes concluyó que el ángulo AOS de la figura también era igual a α .

Por último, sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5000 estadios (había contratado a un hombre para que midiera los pasos).

Esos eran todos los ingredientes. Ahora una simple proporción:

\displaystyle\frac{\text{Distancia de Siena a Alejandria}}{\text{Circunferencia de la Tierra}} = \frac{\text{Angulo } \alpha}{\text{Angulo total alrededor del circulo}}

Es decir, si llamamos L a la longitud de la circunferencia de la Tierra, nos queda:

\displaystyle\frac{5000 \text{ estadios}}{\text{L}} = \frac{1}{\text{50}}

Y por tanto la circunferencia de la Tierra mide 25.000 estadios. Ahora bien, no está muy claro lo que mide un estadio. Parece ser que para Eratóstenes eran 158 metros, por lo que el valor obtenido sería 250000\cdot 0.158 = 39500 kilómetros.

Si también queremos saber el radio, como L = 2\pi r nos queda que r = 39500 / 2\pi \approx 6287 \text{ kilometros}. El dato actualmente aceptado es de 6371 kilómetros, de modo que el griego estuvo sorprendentemente cerca, tanto que seguramente se deba a afortunados errores de cálculo. De todos modos es impresionante. ¡Midió el radio de la tierra mirando la sombra de un palo!

La forma de razonar de Eratóstenes es digna de admirar, no sólo por ser capaz de lograr un resultado tan importante con los escasos medios de que disponía , sino también por el sorprendente hecho de que no abrigó ninguna duda acerca de la esfericidad de nuestro planeta. Sin embargo, los marinos europeos de 15 siglos después tendrían miedo de caerse por el extremo de una Tierra plana. A veces olvidadmos que los antiguos griegos estaban completamente seguros de la forma esférica de la Tierra.

Bonus: El gran Carl Sagan (del que ya hemos hablado aquí alguna vez)  explica perfectamente el razonamiento de Eratóstenes en este video:

Fuentes:

Dunham, William. Viaje a través de los genios

Para topólogos

12 junio 2010

Calcular cuadrados de forma rápida

9 enero 2010

En el video que puse en el último post el matemago Arthur Benjamin explicaba su método para calcular mentalmente cuadrados de números de dos cifras de forma rápida. Bueno, en realidad él se los sabe de memoria, pero el método es bastate útil.

El método es el siguiente: Tomamos un número de dos cifras, por ejemplo el 73. La decena más cercana es el 70.  La diferencia es de 3 unidades así que también subimos otras 3 para llegar al 76.
Ahora multiplicamos 76*70, que es fácil hacer de cabeza, y sumamos la diferencia anterior (3) al cuadrado:

76 \\ \textbf{73} \rightarrow 76\cdot 70 + 3^2 = 5320 + 9 = \textbf{5329} \\70

Otro ejemplo:

60 \\ \textbf{56} \rightarrow 60\cdot 52 + 4^2 = 3120 + 16 = \textbf{3136} \\ 52

Con un poco de práctica se puede hacer bastante rápido. Eso sí, como recomienda el matemago hay que hacer todas las multiplicaciones de izquierda a derecha, al revés de cómo las haríamos en papel.

Ejercicio: ¿Por qué funciona este método? Espero vuestras respuestas…

El matemago Arthur Benjamin

6 enero 2010

Hace un tiempo descubrí la existencia del World Science Festival que, como no podía ser de otra manera, es un evento bastante chulo donde uno se lo puede pasar en grande con cosas como ésta cacatúa bailarina:

En su web hay un montón de vídeos interesantes que ver. De momento he visto titulado “The Mathemagician” (El matemago), que me llamó muchísimo la atención, no sé, será porque estudio matemáticas y me encanta la magia :). Bueno, el caso es que está muy interesante, porque además Arthur Benjamin, que es el matemago en cuestión, explica como se hace (casi) todo.

En el vídeo lo vemos haciendo un truco de cartas bastante chulo, calculando rápidamente cuadrados de números de hasta ¡cinco! cifras o adivinando el día de la semana en el que cayó una determinada fecha. Está en inglés, pero hasta yo lo entiendo bastante bien así que no deberíais tener muchos problemas. Altamente recomendable.

Si os ha gustado, podéis ver las otras tres partes.

¿Cuánto vale 0 elevado a 0?

27 diciembre 2009

Desde el colegio nos enseñan que cero elevado a cualquier número positivo es cero (0^a = 0, para todo a>0). Poco después se estudia algo que cuesta un poco más aceptar, y es que cualquier número elevado a cero es uno (a^0 = 1, para todo a\neq 0).

Entonces, cabe preguntarse ¿cuánto vale 0^0? Mi calculadora científica dice que 0^0 = \text{Math ERROR}. Sin embargo, no siempre debemos fiarnos de las calculadoras, no tenéis más que poner (10^{18} + 1) - 10^{18} y vereís como dice que vale 0.

Pues bien, existe un valor totalmente coherente con el que definir 0^0. Y es el \lim_{x\to 0}x^x, que sale 1 usando la Regla de L’Hôpital. En Gaussianos hicieron esto hace algún tiempo y dio lugar a un intenso debate.

Pero podemos aspirar a más, no solo a definir 0^0 como 1 y que todo funcione, sino a demostrar que 0^0 = 1, y además usando únicamente técnicas de teoría de conjuntos. Eso es lo que he encontrado en El Topo Lógico (blog que recomiendo, por cierto).

En resumen, lo que se hace en dicha web es lo siguiente (recomiendo visitar el original):

Dado un conjunto finito, se llama cardinal su número de elementos. Podemos definir los números naturales como el cardinal de los conjuntos finitos. Así, por ejemplo, 0 sería el cardinal del conjunto vacío (\emptyset), 1 el de los conjuntos con un elemento, etc.

En teoría de conjuntos se demuestra que el número (mejor el cardinal) de aplicaciones (o funciones) que hay entre un conjunto A y otro conjunto B es precisamente el cardinal de B elevado al cardinal de A: card(B)^{card(A)}.

Por ejemplo, dados los conjuntos \{a,b,c\} y \{x,y\}, existen 2^3 = 8 aplicaciones entre ellos.

Por todo ello, el número de aplicaciones del conjunto vacío en el conjunto vacío debe ser card(\emptyset)^{card(\emptyset)} = 0^0. Pero, ¿cuantas de estas aplicaciones existen? Pues únicamente la aplicación identidad (para los que sepan un poco más, esta aplicación puede ser vista como el conjunto vacio, que es un subconjunto de las partes de \emptyset \times \emptyset que cumple la definición de aplicación).

Por tanto, 0^0 = 1 \ \ \ \ \square

Árbol de navidad matemático

24 diciembre 2009

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 =12345678987654321

(visto en esquizopedia)

¡Felíz Navidad y próspero 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67!

Sobre porcentajes y otros cálculos complicados

28 septiembre 2009

Una de las normas que me autoimpuse cuando me decidí a crear este blog es mantenerme al margen de la política. Un disparate matemático me lleva hoy a romperla, aunque aseguro que esta historia la hubiese contado independientemente de la ideología del protagonista.

Un día, mientras estudiaba con otros matemáticos en proyecto, oimos a unos estudiantes de Empresariales que intentaban resolver unos problemas de tantos por ciento (un asunto extremadamente complejo), llegando finalmente a la asombrosa conclusión de que el 7% de 1000 es 37 (¡!).

No son los únicos a los que se dan mal los porcentajes.  Leire Pajín, secreteria de organización del PSOE, ha hecho la siguiente declaración (cito del diario Público, si alguien encuaentra la cita textual por favor que avise):

Para clarificarlo, puso varios ejemplos de cómo repercutirá la subida del tipo general del IVA en varios artículos. Aseguró, por ejemplo, que una camisa de 45 euros costará un céntimo más, por una factura de teléfono de 60 euros el incremento será de un euro, y por una televisión de 500, se pagarán poco más de 508.

El artículo hace referencia a la subida del IVA recién aprobada por el Gobierno, del 16% al 18% . También ha subido el IVA reducido, y no ha tocado el superreducido, aunque hasta donde yo sé por una camisa se paga el IVA habitual.

Bien, calculemos matemáticamente lo que ha subido el precio de la camisa. En contra de lo que uno puede pensar, no es exactamente el 2%, aunque esto constituye una buena aproximación que le debería haber valido a Leire para saber que se estaba quedando algo corta.

Si la camisa costaba 45€, debemos calcular la base imponible (su precio antes de que se le añadiese el IVA), lo que equivale a dividirlo por 1.16:

45 : 1.16 \approx 38.79

Ahora, a esta base imponible le aplicamos el nuevo IVA del 18%:

38.79 \cdot 1.18 \approx 45.78

En definitiva, el incremento del precio es de 78 céntimos, bastante más del irrisorio céntimo del que habla Pajín.

Bonus: Me ha recordado el artículo de la escritoria y periodista Almudena Grandes, en el cual repite unas cuantas veces, invitando al lector a echar la cuenta, que 775.000 millones entre 6.700 millones son 115 millones (dólares que Obama iba a repartir por cabeza). Impagable.

Bonus 2: Os recomiendo el blog Malaprensa, sobre los (frecuentes) errores y chapuzas de la prensa española.

Consigue 24

10 septiembre 2009

Un problema para que penséis un rato… ¿cómo se puede obtener 24, usando una y sólo una vez los números 1, 3, 4 y 6, las operaciones aritméticas básicas y los paréntesis?

Ánimo, que no es difícil.