La cicloide (I): braquistócrona y tautócrona

Si tenemos dos puntos A y B, a diferente altura, ¿cuál es la forma más rápida de conectarlos? Es decir, si los unimos mediante una rampa y tiramos por ella una pelotita, ¿que forma debe tener para que tarde el menor tiempo posible en bajar por su propio peso?

Una primera respuesta intuitiva es que la rampa sea una línea recta:

cicloide12Sin embargo, nada más lejos de la realidad. Aunque la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, no es la más rápida. La pelota llegará antes si construimos un tobogán de la siguiente forma.

cicloide2De hecho, con ese tobogán no sólo llega antes que con una línea recta, sino antes que con cualquier otra curva. Pero, ¿cúal es esta curva tan especial? Pues se trata de la cicloide.

La cicloide es la curva que genera un punto de una circunferencia que rueda sobre una línea recta, es decir, lo que dibujaría un rotulador pegado a la rueda de tu bicicleta, mientras te das un paseo pegado a la pared. En la Wikipedia aparece esta bonita animación con la que se ve más claro:

Nuestro tobogán entre A y B es entonces una cicloide invertida. Incluso si los puntos A y B están situados de manera que haya que bajar para luego volver a subir, la cicloide será el camino más corto. Por eso se la llama también braquistócrona (del grigo “más corto” y “tiempo”).

cicloide3

En este video podemos ver la comparación de tiempo entre la ciclide y una rampa recta, por si hay algún incrédulo:

El problema de la braquistócrona fue propuesto por el matemático suizo Johann Bernoulli en 1696, que lanzó el desafío al resto de la comunidad matemática. Sólo cinco personas supieron responder correstamente: él mismo, Gottfried Leibniz, el Marqués de L’Hôpital, y otros dos que a buen seguro no agradaron a Johann. Uno de ellos fue su hermano Jakob (un día hablaremos de lo bien avenida que era la familia Bernoulli) y otro el gran Isaac Newton, con quien Johann no se llevaba nada bien debido a la disputa que mantenía con Leibniz acerca de la creación de esa herramienta tan útil hoy día: el cálculo.

Al parecer, cuando Newton recibió el problema estaba más preocupado por su trabajo en la Casa de la Moneda que en hacer matemáticas. Sin embargo, ese mismo día, y después de una jornada de tremendo cansancio, se centró en el problema y no durmió hasta haberlo resuelto, a las cuatro de la mañana. Gran genio Newton: ya al final de su vida y tras un día de intenso trabajo, triunfó en una sola noche donde la mayoría de Europa había fracasado.

Pero la cicloide tiene más propiedades interesantes. Huygens descubrió que, además de braquistócrona, es tautócrona. Es decir, si volvemos a nuestro tobogán con forma de cicloide invertida, y lanzamos ahora dos pelotas, éstas llegan al mismo tiempo al punto más bajo de la cicloide (despreciando el rozamiento). Podemos decir que el mayor recorrido que tiene que recorrer una de ellas se compensa con una mayor aceleración al estar la pendiente más inclinada. Por tanto, da igual desde donde nos tiremos por nuestro tobogán que tardaremos lo mismo en llegar al suelo.

cicloide4

Es bastante sencillo contruir una cicloide con la que se pueda comprobar que es tautócrona. En este video se ve que las bolas no llegan a la vez, pero hay poca diferencia. No está mal dado lo rudimentario de la cicloide.

Por supuesto, el hecho de que la cicloide sea braquistócrona y tautócrona tiene su demostración rigurosa, que aparece por ejemplo en el libro Aventuras Matemáticas, de Miguel de Guzmán, y de las que seguramente hablaré en el futuro. También nos quedan otras cosas interesentas que comentar de la cicloide: su ecuación, área y longitud, la construcción con regla y compás, otras variantes que aparecen cuando no gira un punto de la circunferencia sino uno interior o exterior a ella… Pero eso ya es otra historia.

Fuentes:
Aventuras matemáticas. Una ventana hacia el caos y otros episodios, Miguel de Guzmán
Viaje a través de los genios, William Dunham
http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide

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5 comentarios to “La cicloide (I): braquistócrona y tautócrona”

  1. Al margen de Fermat llega a los 100 artículos « Al margen de Fermat Says:

    […] La cicloide (I): braquistócrona y tautócrona. Aprendemos que la distancia más corta (más rápida) entre dos puntos no es la línea recta, sino la cicloide : el tobogán perfecto. Todavía tengo pendiente la segunda parte. […]

  2. aert Says:

    ¡Me encantó! Hoy mismo lo comentó mi profesora de Cálculo y fui a comprobarlo et voilà.

  3. dayana Says:

    wow!!! m sigue sorprendiendo …….se imagiinan cuantas aplicaciones puede tener …definitivamente, el cálculo es 100% aplicable..

  4. Trayectoria – clickonphysics Says:

    […] CICLOIDE 1 […]

  5. video games Says:

    video games

    La cicloide (I): braquistócrona y tautócrona | Al margen de Fermat

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