Posts Tagged ‘Matemáticas’

Poincaré

1 diciembre 2010

Todo saber tiene de ciencia lo que tiene de matemática.

Henri Poincaré

Nada que añadir. Bueno sí, gracias a Ricardo.

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[Problema] De Goldbach a Bertrand

23 julio 2010

Uno de los resultados sin demostrar más conocidos de las Matemáticas es la conjetura de Goldbach. En 1742, el matemático Christian Goldbach le escribió una carta al gran Euler en la que le proponía el siguiente problema:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Por ejemplo, 16  = 5 + 11, 26 = 13 + 13, 32 = 29 + 3, etc.

Los mejores matemáticos del mundo llevan tres siglos intentando demostrar la verdad o falsedad de esta conjetura, y aún no lo han conseguido.

Está claro, entonces, que éste no es el problema que quiero proponer. Resulta que estoy haciendo un trabajo este verano sobre el postulado de Bertrand, que afirma:

Para todo número natural n > 1 existe un número primo p tal que n < p < 2n

La demostración es algo complicada, y seguramente le dedicaré un artículo cuando haya acabado el trabajo. Sin embargo, es mucho más simple si nos creemos la conjetura de Goldbach. Y ese es el problema que propongo:

Asumiendo la conjetura de Goldbach, demostrar el postulado de Bertrand

Eratóstenes y el radio de la tierra

29 junio 2010

La luz viaja a 299.792,458 kilómetros por segundo. La temperatura en la superficie del Sol es de 6000ºK. La Tierra tiene un radio de 6371 km y una masa de 6×1024 kg

Todo eso lo dice la Wikipedia. Pero, ¿cómo nos hemos conseguido medirlo? No se puede poner un termómetro en el Sol y mirar cuanto marca, ni poner la Tierra en una balanza. Es gracias a experimentos indirectos y cálculos matemáticos como conocemos esos datos.

Este post inicia una serie en la que intentaré explicar cómo llegamos a conocer a lo largo de la Historia hemos ideado experimentos cuyas conclusiones permiten conocer esos datos. En concreto, hoy hablaremos sobre el griego Eratóstenes, que calculó el radio de la Tierra ¡hace más de 2000 años!

A partir de aquí adapto lo que se dice en el maravilloso libro Viaje a través de los genios, de William Dunham:

No conocemos a ciencia cierta el procedimiento de Eratóstenes puesto que el tratado original Sobre la medida de la Tierra se ha perdido. Sin embargo, parece que su razonamiento fue el siguiente:

En la ciudad egipcia de Siena, al sur de Alejandría, el Sol caía directamente sobre la cabeza el primer día de verano. Si mirabas al fondo de un pozo en ese momento, quedabas cegado por el reflejo del Sol en el agua.

Al mismo tiempo, ese mismo día, un poste en Alejandría producía una sombra pequeña. Eratóstenes observó que el ángulo α formado por la punta de un poste y la línea de su sombra era 1/50 de un círculo completo (unos 7º). Suponiendo que Alejandría estaba al norte de Siena (lo cual era correcto, más o menos) y que el Sol estaba tan lejos de la Tierra que sus rayos llegaban en líneas paralelas (otra suposición razonable), Eratóstenes concluyó que el ángulo AOS de la figura también era igual a α .

Por último, sabía que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5000 estadios (había contratado a un hombre para que midiera los pasos).

Esos eran todos los ingredientes. Ahora una simple proporción:

\displaystyle\frac{\text{Distancia de Siena a Alejandria}}{\text{Circunferencia de la Tierra}} = \frac{\text{Angulo } \alpha}{\text{Angulo total alrededor del circulo}}

Es decir, si llamamos L a la longitud de la circunferencia de la Tierra, nos queda:

\displaystyle\frac{5000 \text{ estadios}}{\text{L}} = \frac{1}{\text{50}}

Y por tanto la circunferencia de la Tierra mide 25.000 estadios. Ahora bien, no está muy claro lo que mide un estadio. Parece ser que para Eratóstenes eran 158 metros, por lo que el valor obtenido sería 250000\cdot 0.158 = 39500 kilómetros.

Si también queremos saber el radio, como L = 2\pi r nos queda que r = 39500 / 2\pi \approx 6287 \text{ kilometros}. El dato actualmente aceptado es de 6371 kilómetros, de modo que el griego estuvo sorprendentemente cerca, tanto que seguramente se deba a afortunados errores de cálculo. De todos modos es impresionante. ¡Midió el radio de la tierra mirando la sombra de un palo!

La forma de razonar de Eratóstenes es digna de admirar, no sólo por ser capaz de lograr un resultado tan importante con los escasos medios de que disponía , sino también por el sorprendente hecho de que no abrigó ninguna duda acerca de la esfericidad de nuestro planeta. Sin embargo, los marinos europeos de 15 siglos después tendrían miedo de caerse por el extremo de una Tierra plana. A veces olvidadmos que los antiguos griegos estaban completamente seguros de la forma esférica de la Tierra.

Bonus: El gran Carl Sagan (del que ya hemos hablado aquí alguna vez)  explica perfectamente el razonamiento de Eratóstenes en este video:

Fuentes:

Dunham, William. Viaje a través de los genios

Para topólogos

12 junio 2010

¿Está usted de broma, sr. Feynman?

26 marzo 2010

Richard Feynman es probablemente mi científico preferido. Además de tocar los bongos con tanta alegría, colaboró en el proyecto Manhattan y fue Premio Nobel de Física por su trabajo en electrodinámica cuántica (que empezó como un estudio de los bamboleos de una bandeja de cafetería) y declarado deficiente mental por el ejército de los Estados Unidos (sic). Como podeis imaginar era un tipo peculiar.

Él mismo cuenta muchas más anécdotas absolutamente geniales en su autobiografía ¿Está Vd. de broma, sr. Feynman?, que es uno de los libros más entretenidos que he leído y que recomiendo encarecidamente a todo aquel que tenga interés por la ciencia. (¿No lo has leido? ¿Estas haciendo algo importante? No lo creo, si estás leyendo esto. Así que ve a la biblioteca más cercana y pídelo)

En el magnífico blog Historias de la ciencia ya han hablado un montón de veces de él. Extraigo un fragmento del libro que me gustó mucho, en parte porque me recordó al ambiente de mi facultad, y en el que Feynman se dedica a tomarle el pelo a sus compañeros matemáticos:

En Princeton, los departamentos de física y matemáticas compartían una misma sala de tertulia, donde todos los días se servía té a las cuatro. Era una forma de descansar y relajarse un poco por la tarde, nos sentábamos a jugar al Go o a analizar teoremas. En aquellos días, el último grito en matemáticas era la topología.

Recuerdo todavía a uno de aquellos tipos, sentado en el sofá, concentrado al máximo, mientras otro de pie frente a él le decía: “Y por consiguiente, se verifica tal y tal.”

“¿Y eso, por qué?”, pregunta el del sofá.

“¡Es trivial! ¡Es trivial! – dice el sabio de pie. Y rápidamente empieza a largarle al otro una serie de pasos lógicos –. Supongamos primero que tal y tal cosa. Entonces tenemos, por el lema de Kerchoff, que esto y eso. Después, por el teorema de Waffenstoffer, sustituyes esto por esto, y construyes esto otro. Ahora se coge el vector que va por aquí, y entonces, por lo tanto…” El tipo del sofá luchando por comprender todo aquel rollo y el otro que sigue largando a toda pastilla durante un cuarto de hora. Por fin, el que está de pie asoma por el otro lado el túnel y va y dice: “¡Ya, ya, ya! ¡Es trivial!”

Nosotros, los físicos, nos partíamos de isa, y viendo aquello, nos pusimos a tomarles el pelo. Llegamos a la conclusión de que para los matemáticos “trivial” significaba “demostrado”. Así empezamos a meternos con ellos diciendo: “Los físicos tenemos un teorema nuevo, a saber, que los matemáticos solamente pueden demostrar teoremas triviales, porque todos los teoremas que demuestran son triviales.”

Nuestro teorema no les hacía gracia, y yo aprovechaba para picarlos. Les decía que en matemáticas nunca hay nada verdaderamente sorprendente, que lo único que demostraban son cosas obvias.

A los matemáticos, la topología no les resultaba nada evidente. Había toda clase de extravagantes posibilidades, “contrarias a la intuición”. Entonces tuve una idea. Los desafié: “Apuesto a que no hay ni un solo teorema que podáis contarme sin vuestra jerigonza (es decir, que enunciéis las  hipótesis y el contenido del teorema en términos que se puedan entender) del que yo no sea capaz de deciros inmediatamente si es verdadero o falso.”

Con frecuencia, la cosa se desarrollaba así: “Tienes una naranja, ¿vale? Ahora se corta la naranja en un número finito de trozos, se vuelve a recomponer, y tiene el tamaño del Sol. ¿Verdadero o falso?.”

“¿Maciza? ¿Sin huecos, ni poros?”
“Maciza.”
“¡Imposible! ¡No existe nada por el estilo!”
“¡Ja! ¡Ya le hemos pillado! ¡Qué venga todo el mundo! ¡Es el teorema de Fulano y Mengano sobre descomposición en partes no medibles!”

Y justo cuando pensaban que me tenían cogido, voy y les recuerdo: “Vosotros dijisteis una naranja. No se puede cortar la piel de una naranja en capas más finas que sus átomos.”
“Pero tenemos la condición de continuidad. ¡Podemos seguir cortando indefinidamente, tan finamente como queramos!”
“No, dijisteis
naranja. Así que yo di por hecho que se trataba de una naranja de verdad.”

De este modo les ganaba siempre. Si mi conjetura era correcta, estupendo. Si no, podía agarrarme a algún aspecto que ellos, en sus simplificaciones, habían dejado de lado.

En realidad, mis conjeturas tenían en cierta medida genuina calidad. Conforme me van diciendo las condiciones del teorema, voy construyendo mentalmente objetos que se acomoden a esas condiciones. Por ejemplo, tenemos un conjunto (una bola) otro disjunto (dos bolas). Después,  las bolas adquieren colores, o les salen pelos, o lo que sea, conforme les voyt imponiendo mentalmente condiciones. Finalmente, enuncian la tesis, que es alguna bobada referente a la bola, y que no se verifica en mi bola verde peluda, así que les digo: “Falso”.

Si el teorema es verdadero, empiezan a armar revuelo, y yo les dejo seguir un ratito. Después les doy mi contraejemplo.
“¡Ah! ¡Es que olvidamos decirte que era de clase 2 Hausdorff-homeomórfico!”
“¡Ah, bueno! En tal caso… ¡en tal caso es trivial! ¡Es trivial!” Claro, sin darse cuenta, me acaban de descubrir el juego. ¡Qué sé yo qué significa “clase 2 homoemófico”.

Calcular cuadrados de forma rápida

9 enero 2010

En el video que puse en el último post el matemago Arthur Benjamin explicaba su método para calcular mentalmente cuadrados de números de dos cifras de forma rápida. Bueno, en realidad él se los sabe de memoria, pero el método es bastate útil.

El método es el siguiente: Tomamos un número de dos cifras, por ejemplo el 73. La decena más cercana es el 70.  La diferencia es de 3 unidades así que también subimos otras 3 para llegar al 76.
Ahora multiplicamos 76*70, que es fácil hacer de cabeza, y sumamos la diferencia anterior (3) al cuadrado:

76 \\ \textbf{73} \rightarrow 76\cdot 70 + 3^2 = 5320 + 9 = \textbf{5329} \\70

Otro ejemplo:

60 \\ \textbf{56} \rightarrow 60\cdot 52 + 4^2 = 3120 + 16 = \textbf{3136} \\ 52

Con un poco de práctica se puede hacer bastante rápido. Eso sí, como recomienda el matemago hay que hacer todas las multiplicaciones de izquierda a derecha, al revés de cómo las haríamos en papel.

Ejercicio: ¿Por qué funciona este método? Espero vuestras respuestas…

El matemago Arthur Benjamin

6 enero 2010

Hace un tiempo descubrí la existencia del World Science Festival que, como no podía ser de otra manera, es un evento bastante chulo donde uno se lo puede pasar en grande con cosas como ésta cacatúa bailarina:

En su web hay un montón de vídeos interesantes que ver. De momento he visto titulado “The Mathemagician” (El matemago), que me llamó muchísimo la atención, no sé, será porque estudio matemáticas y me encanta la magia :). Bueno, el caso es que está muy interesante, porque además Arthur Benjamin, que es el matemago en cuestión, explica como se hace (casi) todo.

En el vídeo lo vemos haciendo un truco de cartas bastante chulo, calculando rápidamente cuadrados de números de hasta ¡cinco! cifras o adivinando el día de la semana en el que cayó una determinada fecha. Está en inglés, pero hasta yo lo entiendo bastante bien así que no deberíais tener muchos problemas. Altamente recomendable.

Si os ha gustado, podéis ver las otras tres partes.

¿Cuánto vale 0 elevado a 0?

27 diciembre 2009

Desde el colegio nos enseñan que cero elevado a cualquier número positivo es cero (0^a = 0, para todo a>0). Poco después se estudia algo que cuesta un poco más aceptar, y es que cualquier número elevado a cero es uno (a^0 = 1, para todo a\neq 0).

Entonces, cabe preguntarse ¿cuánto vale 0^0? Mi calculadora científica dice que 0^0 = \text{Math ERROR}. Sin embargo, no siempre debemos fiarnos de las calculadoras, no tenéis más que poner (10^{18} + 1) - 10^{18} y vereís como dice que vale 0.

Pues bien, existe un valor totalmente coherente con el que definir 0^0. Y es el \lim_{x\to 0}x^x, que sale 1 usando la Regla de L’Hôpital. En Gaussianos hicieron esto hace algún tiempo y dio lugar a un intenso debate.

Pero podemos aspirar a más, no solo a definir 0^0 como 1 y que todo funcione, sino a demostrar que 0^0 = 1, y además usando únicamente técnicas de teoría de conjuntos. Eso es lo que he encontrado en El Topo Lógico (blog que recomiendo, por cierto).

En resumen, lo que se hace en dicha web es lo siguiente (recomiendo visitar el original):

Dado un conjunto finito, se llama cardinal su número de elementos. Podemos definir los números naturales como el cardinal de los conjuntos finitos. Así, por ejemplo, 0 sería el cardinal del conjunto vacío (\emptyset), 1 el de los conjuntos con un elemento, etc.

En teoría de conjuntos se demuestra que el número (mejor el cardinal) de aplicaciones (o funciones) que hay entre un conjunto A y otro conjunto B es precisamente el cardinal de B elevado al cardinal de A: card(B)^{card(A)}.

Por ejemplo, dados los conjuntos \{a,b,c\} y \{x,y\}, existen 2^3 = 8 aplicaciones entre ellos.

Por todo ello, el número de aplicaciones del conjunto vacío en el conjunto vacío debe ser card(\emptyset)^{card(\emptyset)} = 0^0. Pero, ¿cuantas de estas aplicaciones existen? Pues únicamente la aplicación identidad (para los que sepan un poco más, esta aplicación puede ser vista como el conjunto vacio, que es un subconjunto de las partes de \emptyset \times \emptyset que cumple la definición de aplicación).

Por tanto, 0^0 = 1 \ \ \ \ \square

Árbol de navidad matemático

24 diciembre 2009

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 =12345678987654321

(visto en esquizopedia)

¡Felíz Navidad y próspero 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67!

Algo de humor científico

18 diciembre 2009

Tras un tiempo un poco abandonado, Al margen de Fermat vuelve a la carga. Mi intención ahora es publicar tres o cuatro posts a la semana. Para empezar, vamos con un poco de humor científico.

Estas tres geniales viñetas son de xkcd (también hay una web con donde traducen algunas al español) .

Persona normal: Supongo que no debería hacer eso.
Científico: Me pregunto si pasa todas las veces.



Y esta última no recuerdo donde la encontré, pero también me encanta:

Vamos, físicos.
Han pasado casi 75 años. Aceptadlo.
El gato de Schrödinger esta MUERTO.
(Y la caja está empezando a apestar)

Bonus: (Chiste para matemáticos, gracias a Gonzalo 😉 ) ¿Qué es un espacio normado, amarillo y completo? ¡Un espacio de Bananach!