Archive for 27 diciembre 2009

¿Cuánto vale 0 elevado a 0?

27 diciembre 2009

Desde el colegio nos enseñan que cero elevado a cualquier número positivo es cero (0^a = 0, para todo a>0). Poco después se estudia algo que cuesta un poco más aceptar, y es que cualquier número elevado a cero es uno (a^0 = 1, para todo a\neq 0).

Entonces, cabe preguntarse ¿cuánto vale 0^0? Mi calculadora científica dice que 0^0 = \text{Math ERROR}. Sin embargo, no siempre debemos fiarnos de las calculadoras, no tenéis más que poner (10^{18} + 1) - 10^{18} y vereís como dice que vale 0.

Pues bien, existe un valor totalmente coherente con el que definir 0^0. Y es el \lim_{x\to 0}x^x, que sale 1 usando la Regla de L’Hôpital. En Gaussianos hicieron esto hace algún tiempo y dio lugar a un intenso debate.

Pero podemos aspirar a más, no solo a definir 0^0 como 1 y que todo funcione, sino a demostrar que 0^0 = 1, y además usando únicamente técnicas de teoría de conjuntos. Eso es lo que he encontrado en El Topo Lógico (blog que recomiendo, por cierto).

En resumen, lo que se hace en dicha web es lo siguiente (recomiendo visitar el original):

Dado un conjunto finito, se llama cardinal su número de elementos. Podemos definir los números naturales como el cardinal de los conjuntos finitos. Así, por ejemplo, 0 sería el cardinal del conjunto vacío (\emptyset), 1 el de los conjuntos con un elemento, etc.

En teoría de conjuntos se demuestra que el número (mejor el cardinal) de aplicaciones (o funciones) que hay entre un conjunto A y otro conjunto B es precisamente el cardinal de B elevado al cardinal de A: card(B)^{card(A)}.

Por ejemplo, dados los conjuntos \{a,b,c\} y \{x,y\}, existen 2^3 = 8 aplicaciones entre ellos.

Por todo ello, el número de aplicaciones del conjunto vacío en el conjunto vacío debe ser card(\emptyset)^{card(\emptyset)} = 0^0. Pero, ¿cuantas de estas aplicaciones existen? Pues únicamente la aplicación identidad (para los que sepan un poco más, esta aplicación puede ser vista como el conjunto vacio, que es un subconjunto de las partes de \emptyset \times \emptyset que cumple la definición de aplicación).

Por tanto, 0^0 = 1 \ \ \ \ \square

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Árbol de navidad matemático

24 diciembre 2009

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 =12345678987654321

(visto en esquizopedia)

¡Felíz Navidad y próspero 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67!

El mate de Légal

21 diciembre 2009

El ajedrez está más cerca de las Matemáticas que cualquier otro juego.

Anatoli Kárpov, vía Gaussianos.

Si se entra a la cafetería de una facultad española, es bastante probable que se esté jugando una partida de mus. En Matemáticas es distinto, porque lo que más se ve son partidas de ajedrez. Gracias a eso, yo, que no había jugado más de diez partidas en mi vida, últimamente me he aficionado bastante. Y me siguen ganando todos mis compañeros, pero ya les cuesta más trabajo.

Así que voy a hablar de un mate que me gusta mucho y que aparece en todos los libros de ajedrez para principiantes: El mate de Légal.

El Café de La Régence

Kermur de Légal fue uno de los más famosos jugadores de Francia durante el siglo XVIII. En el parisino Café de la Regence, un importante lugar de reunión para los ajedrecistas (casi tanto como nuestra facultad) tuvo lugar la siguiente partida:

Kermur de Légal – Saint-Brie
París 1787

1. e4          e5
2. Cf3       d6

Esta forma de defender el peón en e5 se conoce como Defensa Philidor (André Philidor fue otro ajedrecista francés, alumno de Légal, a quien le arrebataría la corona de campeón mundial).

3. Ac4       Cc6
4. Cc3       Ag4

Se dice que en este momento Légal tocó su caballo de f3 y Saint-Brie le invitó a jugarlo,  según la regla de pieza tocada, pieza jugada. Se levantó un murmullo entre los mirones que presenciaban la partida, pues estaba claro que si Légal jugaba, perdería la dama. Finalmente, el maestró jugó

5. Cxe5?       …

Ahora, si las negras juegan 5. … Cxe5, quedan con un caballo de ventaja, a cambio de un peón. Sin embargo, la tentación de eliminar la dama del tablero era demasiado fuerte para un jugador que no podía aspirar a derrotar a un campeón como Légal, de modo que se abalanzó sobre ella…

5. …      Axd1??


… cayendo en una trampa mortal:

6. Axf7+       Re7
7. Cd5++

Lo que no sabemos es si realmente Légal tocó el caballo sin darse cuenta, o si lo hizo precisamente para plantear esta trampa, despistando por completo a su adversario.

Fuentes:
Escuela de Ajedrez
, de Antonio Guide
La pasión del Ajedrez

Nota: Las imágenes de los tableros están hechas con el paquete skak de \LaTeX

Algo de humor científico

18 diciembre 2009

Tras un tiempo un poco abandonado, Al margen de Fermat vuelve a la carga. Mi intención ahora es publicar tres o cuatro posts a la semana. Para empezar, vamos con un poco de humor científico.

Estas tres geniales viñetas son de xkcd (también hay una web con donde traducen algunas al español) .

Persona normal: Supongo que no debería hacer eso.
Científico: Me pregunto si pasa todas las veces.



Y esta última no recuerdo donde la encontré, pero también me encanta:

Vamos, físicos.
Han pasado casi 75 años. Aceptadlo.
El gato de Schrödinger esta MUERTO.
(Y la caja está empezando a apestar)

Bonus: (Chiste para matemáticos, gracias a Gonzalo 😉 ) ¿Qué es un espacio normado, amarillo y completo? ¡Un espacio de Bananach!