¿Cuánto vale 0 elevado a 0?

Desde el colegio nos enseñan que cero elevado a cualquier número positivo es cero (0^a = 0, para todo a>0). Poco después se estudia algo que cuesta un poco más aceptar, y es que cualquier número elevado a cero es uno (a^0 = 1, para todo a\neq 0).

Entonces, cabe preguntarse ¿cuánto vale 0^0? Mi calculadora científica dice que 0^0 = \text{Math ERROR}. Sin embargo, no siempre debemos fiarnos de las calculadoras, no tenéis más que poner (10^{18} + 1) - 10^{18} y vereís como dice que vale 0.

Pues bien, existe un valor totalmente coherente con el que definir 0^0. Y es el \lim_{x\to 0}x^x, que sale 1 usando la Regla de L’Hôpital. En Gaussianos hicieron esto hace algún tiempo y dio lugar a un intenso debate.

Pero podemos aspirar a más, no solo a definir 0^0 como 1 y que todo funcione, sino a demostrar que 0^0 = 1, y además usando únicamente técnicas de teoría de conjuntos. Eso es lo que he encontrado en El Topo Lógico (blog que recomiendo, por cierto).

En resumen, lo que se hace en dicha web es lo siguiente (recomiendo visitar el original):

Dado un conjunto finito, se llama cardinal su número de elementos. Podemos definir los números naturales como el cardinal de los conjuntos finitos. Así, por ejemplo, 0 sería el cardinal del conjunto vacío (\emptyset), 1 el de los conjuntos con un elemento, etc.

En teoría de conjuntos se demuestra que el número (mejor el cardinal) de aplicaciones (o funciones) que hay entre un conjunto A y otro conjunto B es precisamente el cardinal de B elevado al cardinal de A: card(B)^{card(A)}.

Por ejemplo, dados los conjuntos \{a,b,c\} y \{x,y\}, existen 2^3 = 8 aplicaciones entre ellos.

Por todo ello, el número de aplicaciones del conjunto vacío en el conjunto vacío debe ser card(\emptyset)^{card(\emptyset)} = 0^0. Pero, ¿cuantas de estas aplicaciones existen? Pues únicamente la aplicación identidad (para los que sepan un poco más, esta aplicación puede ser vista como el conjunto vacio, que es un subconjunto de las partes de \emptyset \times \emptyset que cumple la definición de aplicación).

Por tanto, 0^0 = 1 \ \ \ \ \square

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16 comentarios to “¿Cuánto vale 0 elevado a 0?”

  1. Ismael Says:

    es muy sencillo demostrar lo no demostrable.
    la teoria de conjunto y la teoria de límites es diferente. si tienes un conjunto que tiene cero elementos y lo relacionas con otro q tiene cero elemntos, como va a ser igual a la aplicacion identidad?

  2. Michelle Says:

    entonses cuanto da 0 elevado a 0 ?¿

  3. brenduu :) Says:

    cero elevado a la cero no es uno….cero elevado a la cero es la unica fracción que se la llama indefinido o sin fin…. si quieren aprender bien esto vusquen el libros o consulten a la profe de 1º del verna🙂

  4. reiner Says:

    0^0= 0^1 * 0^(-1)=0^(1+ -1)=0^0 pero 0^(-1) es 1/0 lo cual no esta definido

  5. purpurina Says:

    pringaos empoyones vallance a freir esparagos k estan muuuu uenos

  6. purpurina Says:

    jajajajajaa k priga es esta jenteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 0_o😛

  7. johney diaz Says:

    0^0=1 porque? e^(0*ln0)=1

  8. johney diaz Says:

    a^b=e^(b+lna)

  9. daniela flores Says:

    no entiendo

  10. marcelo Says:

    ola

  11. Juanzer Z Says:

    hicieron que me explote la cabeza

  12. johney diaz Says:

    es muy posible que 0^0 sea igual a 1, yo mismo hize el calculo con ayuda de la función generatriz ,EXP(x)/(EXP(x)-1) que se genera apartir de los numeros de Bernoulli como coeficientes de la serie de taylor alrededor de 0

  13. johney diaz Says:

    disculpen es la ecuacion X/(EXP(X)-1)

  14. Ronald Becerra Says:

    Para Ismael, el del primer comentario:

    Estamos hablando de ceros absolutos. Esto excluye por completo la teoría de límites.

    Una función es una relación con ciertas propiedades. Una relación de A en B es un conjunto de pares ordenados tales que la primera coordenada es un elemento de A, y la segunda coordenada es un elemento de B.

    Como el conjunto vacío no tiene elementos, entonces es una relación de A en B. ¿Por qué? Porque no hay ningún elemento del conjunto vacío que no sea un par ordenado cuya primera coordenada pertenezca a A, y cuya segunda coordenada pertenezca a B.

    El conjunto vacío es una relación del vacío al vacío. Si definimos la potenciación con el método de las cardinalidades, entonces queda demostrado que 0^0 = 1.

    La cuestión es ver qué es lo que se define primero.

  15. ma Says:

    Cero dividido entre cero no es ningún número. Por eso la calculadora da error.

  16. Leonardo Says:

    Alguno dijo que como 0^0=0^-1*0^1 entonces como 0^-1 es 1/0 y eso no existe “prueba” que 0^0 no existe.
    Ahora bien,,, 0^2=0^-1*0^3. Con el mismo argumento, 0^2 no existe…

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