La Guardia Civil y el teorema de Lagrange

La semana pasada leí que la Guardia Civil iba a empezar a instalar nuevos radares en las carreteras, que midiesen ademmás el tiempo transcurrido al recorrer una determinada distancia. Esto permitirá multar a conductores que sobrepasen el límite establecido aunque no se les haya fotografiado hacíendolo, gracias a un importante resultado matématico. Se trata de un sistema mucho más potente porque se controla la velocidad en un tramo de varios kilómetros, no en un punto determinado.

Por ejemplo, se va a instalar un radar a la entrada del tunel de Guadarrama y otro a su salida. Supondremos que el túnel mide 3km y que en el mismo la velocidad está limitada a 100 km/h.

Imaginemos que un vehículo entra en el túnel. El primer radar mide una velocidad de 90km/h. El segundo, de 85km/h. Con los antiguos radares, todo estaría correcto. Sin embargo, estos miden un dato más: cuando el coche entra en el túnel se pone en marcha un cronómetro, que para cuando el segundo radar detecta su salida. En nuestro supuesto, ha tardado 90 segundos.
La decisión entonces es clara: multa y unos cuantos puntos menos. Veamos por qué:

Podemos representar en una gráfica la posición del vehículo en función del tiempo transcurrido desde que entra en el túnel. Como lo normal es que vaya hacia adelante, se trata de una función creciente, más o menos así:

imagen1

Sabemos que \text{velocidad\ media} = \frac{\text{espacio\ recorrido}}{\text{tiempo\ transcurrido}}.
Se trata de un dato fácil de calcular, puesto que el espacio es lo que mide el túnel (3km) y el tiempo lo miden entre el radar situado a la entrada y el de la salida (90s = 0.025h). Por tanto \text{velocidad\ media}= \frac{3}{0.025} = 120 km/h

Esto sobrepasa la velocidad permitida en el túnel, que hemos supuesto de 100km/h. Sin embargo, no se ha detectado que el conductor sobrepase el límite en ningún momento, las velocidades detectadas por los radares eran adecuadas. Entonces, ¿se le puede multar?

La respuesta es clara: sí, es totalmente seguro que ha ido a más velocidad de la debida. Y gracias a las Matemáticas, concretamente al Análisis matemático. Un resultado de este, el teorema de Lagrange, garantiza que si el vehículo ha desarrollado una determinada velocidad media, en algún momento de su trayecto iba justo a esa velocidad. Por tanto, si la velocidad media es de 120 km/h, en algún momento ha tenido que sobrepasar el límite. Y la Guardia Civil le pone la multa.

Los matemáticos, que nos gusta escribir más raro, expresamos este resultado así:
Sea f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R} una función continua y derivable en (a,b).
Entonces existe un punto c\in(a,b) tal que f(b)-f(a) = f'(c) \cdot (b-a)

O lo que es lo mismo, la pendiente de la recta tangente a la grafica en un punto (que vale f'(c) ) es igual a la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (que es la velocidad media)

Veámoslo en un lenguaje más asequible.

imagen2

Antes hablábamos de velocidad media. Puesto que esta es espacio entre tiempo, coindide con la pendiente de la recta que une el principio y el fin de la gráfica (en azul en la imagen anterior). Lo cual tiene su lógica, puesto que a más recorrido en menos tiempo la pendiente será más inclinada.

imagen3

Pero también hay otra manera de medir la velocidad, y es la que marca en cada momento el cuenta kilómetros del coche. Gráficamente, ésta queda representada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en cada punto (en rojo en la imagen).
De este modo, vemos como el conductor entró al túnel con una velocidad reducida para evitar el radar, luego aceleró durante el  túnel y finalmente volvió a reducir la velocidad a la salida, donde está colocado el otro radar.

Aceptando el teorema de Lagrange (no lo voy a demostrar aquí), lo que nos dice gráficamente es que en algún punto la recta tangente a la gráfica es paralela a la que une el principio y el fin de la gráfica. Por ejemplo:

imagen4

Y si son paralelas, tienen la misma pendiente, por lo que la velocidad a la que iba en ese punto es la misma que la velocidad media. Es decir, hemos probado que en algún momento el conductor ha ido a 120 km/h, aunque no lo hayamos visto directamente.

¿Quién decía que las matemáticas no tenían aplicación?😉

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6 comentarios to “La Guardia Civil y el teorema de Lagrange”

  1. paula Says:

    Me ha encantado la página Luis Carlos. Todos y cada uno de los artículos.

    Espero que sigas con ella para poder leer más.

    Besitos!

  2. lucagali Says:

    Muchas gracias paula, ando un poco liado pero cuando pueda seguiré actualizando😉

  3. asun Says:

    me parece un acierto, felicidades. Seguid asi y podremos reducir la siniestralidad

  4. Al margen de Fermat llega a los 100 artículos « Al margen de Fermat Says:

    […] […]

  5. Fátima Alejandra Krdozzo Says:

    Me podrian decir quien es el autor de este articulo lo necesito para hacer mi tesis por favor

  6. miguel paredes hernandez Says:

    Si f(x) es la función de posición del coche la aplicación del Teorema del valor medio de Lagrange solo es válida para movimientos rectilíneos y en carretera no realizamos trayectos rectilíneos, luego la multa seria recurrible. Yo creo que se utiliza este otro resultado:
    Si 𝕣(t) es la función de posición del coche (el movimiento puede ser en la recta en el plano o en el espacio) y consideramos un intervalo temporal [a,b], la distancia total recorrida por el coche en dicho intervalo de tiempo es
    s=∫_a^b▒〖||r^’ (t)||dt〗,
    donde ||∙|| es la norma euclídea.
    Entonces por el Teorema del Valor Medio de las integrales,
    s=∫_a^b▒〖||r^’ (t)||dt〗=|(|r^’ (c)|)| (b-a), donde c esta entre a y b,
    de donde,
    s/(b-a)= ||r^’ (c)||,
    es decir, debe existir un instante c entre a y b en el que la rapidez de la partícula ha sido igual al cociente entre la distancia recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo y el tiempo transcurrido.
    Esto es válido para cualquier tipo de movimiento y por lo tanto las denuncias son correctas, salvo que haya errores en la medición de la distancia s. En carretera cuando hablamos de velocidad (que es un vector) nos estamos refiriendo a rapidez.

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