Todos los caballos son del mismo color

Teorema: Todos los caballos son del mismo color.

Demostración (por inducción):

Caso n=1: en un conjunto con un sólo caballo, es obvio que todos los caballos son del mismo color.

Demostramos ahora que si n caballos son del mismo color entonces n+1 caballos son del mismo color.

Supongamos por consiguiente que tenemos un conjunto de n+1 caballos. Quitemos uno del conjunto, así tenemos n caballos. Por la hipótesis de inducción estos caballos son del mismo color.

Sólo nos queda ver que el caballo que hemos sacado es del mismo color. Para ello, lo volvemos a incluir en el conjunto y sacamos otro. De nuevo, por la hipótesis de inducción los n caballos restantes son del mismo color.

Por tanto, los n+1 caballos son del mismo color. Hemos entonces demostrado que: si el resultado es cierto para n lo es también para n+1. Aplicando el método de inducción, todos los caballos son del mismo color. CQD

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Por si hay alguien que se ha creido esta demostración, aclaro que es totalmente falsa. Así que ya podeis respirar tranquilos, efectivamente hay caballos de colores distintos (menudo descubrimiento, ¿no?). Esto es sólo un ejemplo sobre cómo NO debemos usar el método de inducción. Por cierto, ¿alguien ve dónde falla exactamente?

5 comentarios to “Todos los caballos son del mismo color”

  1. elProf Says:

    Hola, Lucagali:

    Pues me parece que el problema está en pensar que “cualquier conjunto de n caballos es de un mismo color”. Eso en ningún momento se demuestra, y si se toma como hipótesis, pues se explica uno por qué termina en una contradicción.

    En donde la “demostración” dice:

    Supongamos por consiguiente que tenemos un conjunto de n+1 caballos. Quitemos uno del conjunto, así tenemos n caballos. Por la hipótesis de inducción estos caballos son del mismo color.

    se da la falsa impresión de que se tiene la suposición correcta de que existen “n caballos del mismo color”, cuando la intención que se le da enseguida es la de que “cualquier conjunto de n caballos es del mismo color”, lo cual es falso, en general.

    Luego, sigue la demostración:

    Sólo nos queda ver que el caballo que hemos sacado es del mismo color. Para ello, lo volvemos a incluir en el conjunto y sacamos otro. De nuevo, por la hipótesis de inducción los n caballos restantes son del mismo color.

    Aquí de nuevo se está usando la suposición de que “cualquier conjunto de n caballos es del mismo color”, puesto que “sacamos otro” y los que quedan son del mismo color todos, sin importar que entre ellos está aquel que sacamos al principio y el cual no nos consta de qué color sea.

    Me parece un interesante ejemplo de cómo se puede aplicar mal un concepto interesante e importante, como lo es la inducción matemática, pero que no se ha comprendido bien.

    Interesante bitácora, procuraré volver de cuando en cuando.

    Saludos.

  2. lucagali Says:

    Gracias por el comentario, elProf.
    A ver si consigo explicarme, porque yo el fallo fundamental de la “demostración” no lo veo donde dices tú.
    Mi hipótesis de inducción, que no estaba del todo clara, es que “todos los conjuntos de exactamente n caballos son del mismo color”, es decir, que el resultado es cierto para n caballos.
    A partir de ahí, con toda la artimaña de sacar un caballo y meter otro se demuestra que, asumiendo esta hipótesis, también es cierto para n+1 caballos.
    Ojo, no digo que el reultado sea cierto para n caballos, sino que si fuese cierto para n caballos también lo sería para n+1.

    Para mi, el fallo está más bien en la elección del caso base, que es la que permite aplicar el método de inducción.

    Saludos!

  3. gauss3_14 Says:

    Bueno, yo creo que el fallo está cuando se aplica la hipótesis de inducción. Se dice que el primer conjunto de n caballos tienen todos el mismo color, y luego el otro conjunto de n elementos también tienen el mismo color, pero sería necesario verificar que esos dos conjuntos tienen algún elemento en común para poder afirmar que todos los n+1 son del mismo color, y esto es algo que no se puede afirmar. Vale, solamente falla cuando n = 1 (de un conjunto de 2 caballos sacas dos de 1 caballo, pero no hay ningún caballo en común a esos dos subconjuntos), pero con que falle en este caso ya se chafa la demostración.
    Saludos.

  4. lucagali Says:

    Hola profe, encantado de verte por aquí.
    Efectivamente, es bastante sutil, sólo falla en el caso n=1. Lo has explicado genial, nada más que añadir jeje

  5. gauss3_14 Says:

    Nada, chico, me pasaré por aquí de vez en cuando, que esto tiene buena pinta. Enhorabuena y suerte.

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