Del 28 y los números perfectos

Una de las cosas que suelo hacer con mis compañeros matemáticos es buscar propiedades curiosas para un determinado número. En una partida a los dardos puedes decir, por ejemplo: “De acuerdo, me vas ganando, pero mi puntuación es un cuadrado perfecto y la tuya no” y otras chorradas del estilo. Pues bien, mi amigo Juanra (éste que juega tan mal al billar) me dijo el otro día que sabía algo muy curioso sobre el número 28, a ver si lo acertaba. Yo empecé a proponer cosas de este tipo:

– Es un número triangular, es decir, 1+2+3+4+5+6+7=28
– Es suma de los primeros primos: 2+3+5+7+11=28
– Es suma de dos cubos y diferencia de dos cuadrados: 13 + 33 = 82 – 62 = 28
– Es suma de tres de los números chungos de Lost: 4+8+16 = 28

Sin embargo, a lo que él se refería y que yo no conseguí adivinar era que el 28 es un número perfecto. ¿Y que es un número perfecto? Pues aquel que es la suma de sus divisores propios. Como desde la escuela sabemos que los divisores del 28 son 1,2,4,7,14 y 28, resulta entonces que 28 = 1+2+4+7+14, sus divisores sin contar él mismo.

El primero en estudiar los números perfectos fue el matemático griego Euclides. En la Antigua Grecia sólo se habían descubierto 4 números perfectos:

6 = 1+2+3
28 = 1+2+4+7+14
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128 = 1+2+4+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Desde luego, los números perfectos no parecían ser muy abundantes. Así que era obligado preguntarse qué propiedades tenían en común para poder encontrar más. Así, Euclides observó lo siguiente:

6 = 2·3 = 22-1 ·(22-1)
28 = 4·7 = 23-1 ·(23-1)
496 = 16·31 = 25-1 ·(25-1)
8128 = 64·127 = 27-1 ·(27-1)

Con esa información, Euclides formuló el siguiente teorema:

Si 2^k-1 es primo y N= 2^{k-1} \cdot (2^k-1), entonces N es perfecto.

La demostración es la siguiente:

Sea p=2^k-1 primo. Entonces en la factorización prima de N únicamente aparecen 2 y p. Esto nos permite calcular fácilmente cuales son los divisores propios de N, y sumarlos:

S = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k-1} + p + 2p+4p + \dots +2^{k-2}\cdot p =\\= (1+2+4+ \dots + 2^{k-1}) + p (1+2+4 + \dots + 2^{k-2}) =\\= (2^k-1) + p(2^{k-1}-1) = p\cdot 2^{k-1}= N

Luego N es perfecto, CQD.

De esta manera, obtuvo una forma de calcular números perfectos. Pero para llevarlo a la práctica era necesario tener un primo de la forma 2k-1, los llamados números primos de Mersenne. Y encontrarlos no es tarea fácil, ya que actualmente sólo se conocen 46 primos de este tipo. El último fue descubierto en 2008 y se trata del 243.112.609-1, que tiene nada más y nada menos que 12.978.189 cifras.

Para cada uno de los primos de Mersenne, basta aplicar el teorema de Euclides y obtenemos un número perfecto. Sin embargo, lo que no dice el teorema es que todos los números perfectos tengan que ser de la forma 2k-1·(2k-1)

Además, todos los números perfectos encontrados eran pares, pero nadie había demostrado que los impares no pudiesen ser perfectos.

El siglo XVIII, con la aparición del gran Euler (cómo no), se produjo un gran salto en el estudio de los números perfectos. No pudo ganar la batalla contra los impares, pero sí pudo demostrar que si N es un número perfecto y par, entonces N=2k-1 ·(2k-1), con 2k-1 primo.

Es decir, la condición de Euclides no sólo era necesaria, sino que además era suficiente para los números perfectos pares, caracterizándolos de esta manera.

Sin embargo, un problema sigue abierto: puesto que sólo se han encontrado 46 primos de Mersenne, y por tanto 46 números perfectos pares, ¿cúantos hay en total? ¿son finitos o infinitos?

En cuanto a los impares, el interrogante es mucho más grande. En los últimos siglos varios resultados han arrojado algo de luz sobre ellos, y cada vez parece más probable que no existan. En concreto, se sabe que:

-Un número perfecto impar no puede ser divisible por 105.
-Debe tener al menos 8 factores primos diferentes.
-Debe ser mayor que 10300
– Su segundo mayor factor primo debe ser mayor que 1000.
-La suma de los inversos de los números perfectos impares es finita.

Lo realmente curioso es que todos estos resultados tratan sobre unos números que no sabemos siquiera si existen. Parafraseando a uno de mis profesores, estudiamos la vida de los unicornios sin saber nada acerca de su existencia.

Fuentes:
William Dunham. Euler, el maestro de todos los matemáticos
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfecto
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Mersenne

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3 comentarios to “Del 28 y los números perfectos”

  1. DarkMatter Says:

    Buen aporte pero sigo teniendo duda del numero 496 no se si notaste que al tener (2^(4-1)) tendría que representar el factor 16 de 496 y que ((2^4)-1) tendría que ser el mismisimo 31. Si resuelves (2^(4-1)) * ((2^4)-1) da la multiplicación 8*15=120 y no 496. Si mi pregunta es errónea o sin sentido disculpa.

  2. lucagali Says:

    Tienes toda la razón, ahora mismo lo cambio, donde hay un cuatro debe haber un cinco. Muchas gracias por leerlo con tanta atención.

  3. andrea Says:

    si es q ponen eso pongan todo xao

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