El teorema de Viviani

El año pasado en la Olimpiada Matemática del IES El Bohío apareció el siguiente problema:

Tengo una parcela limitada por tres tramos de carretera rectilíneos y de la misma longitud. En las tres carreteras hay la misma densidad de tráfico. Con objeto de sufrir la menor contaminación acústica posible, deseo construir mi casa en un punto tal que la suma de las distancias a las tres carreteras sea máxima. ¿Dónde tengo que construir la casa?

La sorprendente respuesta es que da igual. Desde cualquier punto del triangulo equilátero, la suma de las distancias a cada uno de los lados es siempre la misma, precisamente la altura del triángulo. Este resultado, bastante curioso, se conoce como Teorema de Viviani, y su demostración es bastante sencilla:

Sea L el lado y h la altura del triángulo equilátero ABC , P un punto de su interior y h1, h2 y h3 las distancias desde P a cada uno de los lados.

Descomponemos entoces ABC en tres triángulos: APB, BPC y APC. El área de ABC es la suma de estas tres áreas.

AABC = AAPB + ABPC + AAPC = L· h1/2 +  L·h2/2 + L· h3/2

Ya que cada uno de los tres “triangulitos” tiene base L y altura una de las distancias de P a los lados. Pero además, AABC = L·h/2, usando la fórmula del área del triángulo de toda la vida. Nos queda, entonces:

L·h/2 = L· h1/2 +  L·h2/2 + L· h3/2

Multiplicando por 2 y dividiendo por L:

h = h1 + h2 + h3

Por lo que la suma de las distancias a cada uno de los lados es independiente del punto escogido. CQD.

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5 comentarios to “El teorema de Viviani”

  1. 6 formas de calcular el área de un triángulo « Al margen de Fermat Says:

    […] ABC en tres: BCI, ABI  y AIC, donde I es el incentro. De manera parecida a lo que hicimos para el teorema de Viviani, tenemos que cada uno de estos tres triangulitos tiene por base uno de los lados y como altura el […]

  2. Mª Angeles Says:

    Este mismo problema la solución que dan en otro instituto es : “En todos los puntos del interior del triangulo la suma de las distancias a las tres carreteras es constante: L*Raiz de 3/2, donde L es el lado del triangulo que delimita la parcela”.
    ¿ DE donde se saca la raiz de 3?

  3. lucagali Says:

    Es la altura del triángulo equilátero, si éste tiene lado L. Sólo tienes que aplicar el teorema de Pitágoras a la mitad del triángulo

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