Navegando con el arco capaz

Esta semana he estado ayudándole a mi hermano con su examen de dibujo técnico. Una de las cosas que le entra es el arco capaz.
Hablaremos hoy de lo que es y de una interesante aplicación del mismo para situarnos en un mapa.

El arco capaz se define como el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento con un ángulo determinado. O lo que es lo mismo, el conjunto de los puntos del plano tales que el ángulo con vértice en ese punto y cuyos lados pasan por los extremos del segmento mide un determinado valor. Un dibujo lo aclara:

Arco capaz 1Todos los ángulos que tengan su vértice en la circunferencia anterior y cuyos lados pasen por A y B medirán 60º. Es lo que ocurre, por ejemplo, con \hat{ACB} y \hat{ADB}, marcados en azul y rojo respectivamente.

En la figura anterior hemos hecho aparecer el arco directamente, pero ¿cómo se llega hasta él?

La construcción del arco capaz, de un ángulo \alpha, de un segmento AB es la siguiente:
-Se traza la mediatriz de AB (en el dibujo inferior aparece con línea de trazo-punto)
-Se traza una recta r tal que el segmento AB forme un ángulo \alpha con ella. En el ejemplo, he colocado un ángulo de 60º.
-Se traza la perpendicular a la recta r.
-El punto O de corte de dicha perpendicular con la mediatriz es el centro del arco buscado.
-Finalmente, se traza el arco de centro O y radio OA

Construcción

Pero, ¿por qué funciona? La demostración no se suele enseñar en dibujo técnico, por lo menos a mi no me la explicaron, aunque es elemental.Necesitamos antes unos conceptos básicos de geometría:

Ángulo central es que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. Sus lados son radios y mide el arco que abarca de la misma. Por ejemplo, el ángulo \hat{AOB} del dibujo inferior, marcado en verde.
Ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia, y los lados son rectas secantes. Mide la mitad del arco que abarca. En el dibujo, es \hat{ACB}, marcado en rojo, y por lo que acabamos de decir mide la mitad de \hat{AOB}

Ángulos central e inscrito

Volvamos ahora a la construcción. El triangulo AOB (en azul) es isósceles, por estar O en la mediatriz de AB. Por tanto, \hat{BAO} = \hat{ABO}. Además, \hat{BAO}+\alpha = 90, por ser la perpendicular.

Demostración
Como la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, tenemos que :

180 = \hat{AOB} + \hat{BAO} + \hat{ABO} = \hat{AOB} + 2\hat{BAO} \\ \:\:\:\: = \hat{AOB} + 2\cdot (90-\alpha)

Por lo que \hat{AOB} = 2\cdot\alpha Y como un ángulo incrito mide la mitad del ángulo que abarca, tenemos que \hat{APB} = \hat{AOB}/2 = \alpha, para un punto P cualquiera de la circunferencia, que es lo queríamos demostrar.

El concepto de arco capaz es muy útil, por ejemplo, en problemas de resolución de triángulos. Hoy vamos a ver una aplicación más práctica de la que me acordé el otro día estando en la playa. Imaginemos que estamos navegando en un barco y queremos saber nuestra posición, puesto que cerca de donde estamos hay un banco de arena* donde se nos podría quedar encallado. Nos asomamos por la borda y vemos el faro de Cabo Palos, cuya foto abre este post, y algo más a la izquierda (perdón, a babor) el faro de las islas Hormigas. También apreciamos isla Grosa, a nuestra espalda. El lector sagaz ya se habrá podido imaginar que nos encontramos cerca de las costas de La Manga del Mar Menor.
Pues bien, con estos tres puntos que tenemos identificados, y algún instrumento para medir el ángulo entre ellos, es suficiente
para encontrar nuestra posición en el mapa, ¡sin medir distancias ni efectuar ningún cálculo!

Imaginemos que los ángulos en cuestión son 130º entre isla Grosa y el faro de Cabo Palos y 30º entre éste y las Hormigas.
Basta entonces localizarlos en el mapa, trazar los segmentos entre ellos y realizar el sencillo proceso de construcción de
sus respectivos arcos capaces antes explicado (click para ver el mapa ampliado):

Mapa

Sólo hay un punto en el que se cortan los dos arcos: allí estamos. Podemos corregir el rumbo para evitar el banco de arena
y proseguir nuestro tranquilo paseo marítimo.

¡Quién necesita un GPS, teniendo regla y compás!

*Realmente hay un peligroso banco de arena cerca de las islas Hormigas. En él se han producido numerosos naufragios, entre ellos
el del trasatlántico Sirius en 1906, en el que murieron más de 200 personas y que es el mayor acaecido en el mar Mediterráneo. Más información en 1 y 2.

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6 comentarios to “Navegando con el arco capaz”

  1. baltor Says:

    Simplemente brillante, veo que has usado el geogebra, jeje. A ver si te animas en el siguiente post que lo uses a crearte animaciones.

    Si me pierdo por esa zona ya se que que debo hacer, jeje. Por cierto, si no tuvieramos un instrumento para medir ángulos, a las malas podríamos usar las manos, es un truquillo astronómico para medir distancias angulares, jeje
    http://www.espacioprofundo.com.ar/diccionario/Glosario_de_Astronomia/vertermino/Distancia_angular.html

  2. lucagali Says:

    Muchas gracias. Lo de las animaciones lo tengo pensado, pero de momento mis conocimientos de Geogebra no llegan a tanto :(
    Y muy bueno el truco de los dedos, para una medición aproximada viene genial. Es lo que se hace para localizar la Polar, ¿no?

  3. baltor Says:

    Para localizar la polar lo más práctico es usar dos estrellas de la osa mayor (Dubhe y Merak concretamente): http://eloviparo.files.wordpress.com/2009/04/umaumim-p.jpg
    Pero ya que lo mencionas se me ocurre que podrías usar ese truco para más o menos conocer tu latitud, simplemente tendrías que medir la altura en grados a la que está la polar sobre el horizonte.

  4. ViK Says:

    ahhh maldita sea esto lo di yo en dibujo y estaba chulo maldita sea, maldigo y maldecire el dia en q decidi dejarme analisis para el verano T.T, P.D.: LC tus fotocopias me estan viniendo de perlas (a pesar de que cometes leves fallos xD, pero te perdono por dejarmelos xD). Ah por cierto supongamos que apruebo analisis, al año que viene querria hacer un “algo” estilo pdf con las soluciones a los ejercicios de analisis II ya que este año me estan sirviendo mucho los tuyos yo me ofrezco a ayudarte con los del año que viene en serio(aunq no se hagan a latex muy al pesar de baltor xD) bueno y todo esto esperemos no llegar a una contradiccion de lo que he supuesto, xDios!!!

    Saludos, ya posteare un dia de estos en el de baltor para q no le entre la envidia xD

  5. Miguel Says:

    Lo que nos haria falta es un sextante o pinula ya que con gps no hacen falta los arcos capacer porque el mismo nos da nuestra posicion sin tener que hacer todo esto..
    Saludos.

  6. anni Says:

    grasiaaas muy buena información ..me sirvió de mucho

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