6 formas de calcular el área de un triángulo

Imagino que todos conocereis la fórmula para calcular el área de un triángulo:

A = \displaystyle\frac{a \cdot h_a}{2}

Donde a es un lado y h_a es la altura sobre ese lado.

area11

Sin embargo, hay otras fórmulas equivalentes para calcular este área, y que nos pueden servir de utilidad para resolver problemas.

Por ejemplo, con un poco de trigonometría elemental sabemos que

\displaystyle \sin(C)=\frac{h_a}{b}

O lo que es lo mismo:

h_a = b\cdot \sin(C)

Por lo que sin más que sustituir en nuestra primera fórmula obtenemos una en la que no necesitamos conocer la altura del triángulo:

A = \displaystyle\frac{a \cdot b \cdot \sin(C)}{2}

Veamos una tercera manera. Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos, éstas se cortan en un punto que se denomina incentro, y que como sugiere su nombre es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

area2Como podeis ver, las bisectrices (con trazo-punto en el dibujo) nos dividen nuestro triángulo original ABC en tres: BCI, ABI  y AIC, donde I es el incentro. De manera parecida a lo que hicimos para el teorema de Viviani, tenemos que cada uno de estos tres triangulitos tiene por base uno de los lados y como altura el radio, por lo que podemos calcular su área de manera sencilla. Entonces:

A = A_{BCI} + A_{AIC} + A_{ABI} = \displaystyle\frac{a\cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2}+\frac{c\cdot r}{2} = r \cdot \frac{a+b+c}{2}

Si ahora llamamos p al semiperímetro (p =\displaystyle\frac{a+b+c}{2}) nos queda la sencilla fórmula:

A = p\cdot r

Donde, como hemos dicho, p es el semiperímetro y r es el radio de la circunferencia inscrita.

¿Qué pasa ahora si, en vez de considerar la circunferencia inscrita, tenemos en cuenta la circunscrita? Ésta se obtiene tomando como centro el punto donde se cortan las tres mediatrices y que se denomina circuncentro.

Si llamamos R al radio de la circunferencia circunscrita, nos encontramos con que

A = \displaystyle\frac{abc}{4R}

La demostración es la más complicada de las que voy a hacer aquí, ya que hacen falta algunos conceptos fundamentales de geometría.

area3

Nuestro triángulo ABC es el mismo de antes, el punto O es el circuncentro (no he pintado las mediatrices para que estuviese más claro) y el punto A’ es el diametralmente opuesto a A. Es decir, AA' = 2R.

Hemos de ver ahora que los triángulos AA'C y ABH_a son semejantes. Para ello veremos que tienen dos (y por tanto, tres) angulos iguales. En primer lugar, AA' es un diámetro de la circunferencia, por lo que \widehat{ACA'} es recto. Luego \widehat{AH_a B}=\widehat{ACA'}=90 (los que están marcados en verde en el dibujo).

Por otra parte, tanto \widehat{AA'C} como \widehat{ABH_a} (marcados en rojo) son ángulos inscritos y abarcan el arco AC, luego son iguales.

Por tanto, AA'C y ABH_a son semejantes. De su relación de semejanza extraemos que

\displaystyle \frac{AB}{AA'} = \frac{AH_a}{AC}

O equivalentemente:

\displaystyle \frac{c}{2R} = \frac{h_a}{b}

Además, como h_a = \displaystyle\frac{2A}{a} (simplemente despejando de nuestra primera fórmula) podemos sustituir y tenemos:

\displaystyle \frac{c}{2R} = \frac{2A}{ab}

Y despejando llegamos a lo que queríamos demostrar:

\displaystyle A = \frac{abc}{4R}

Vamos a ver una última manera de calcular el área del triángulo. Se trata de la fórmula de Herón. Su demostración, que daría para un post por si misma (de hecho, espero contarla un día de estos) es impresionante. La podeis ver en el libro Viaje a través de los genios, de William Dunham (muy recomendable, por cierto).

Rescatando p como el semiperímetro (p =\displaystyle\frac{a+b+c}{2}), la fórmula de Herón queda de esta manera:

A = \sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}

No está nada mal para tener más de dos mil años de antiguedad, ¿no?

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40 comentarios to “6 formas de calcular el área de un triángulo”

  1. Sergio Says:

    La famosa fórmula de Herón viene de ahí… ¿Cómo lo hacían los griegos? Definitivamente, se nota que no trabajaban, pero no les quita el mérito. Y más si los comparamos con los vikingos…

  2. jesus velarde figueroa Says:

    el jesus dice k kiere estudiar geometria analitica

  3. AaLlAaNn Says:

    deberian de ser un poco mas especificos pero conservar este medio de informacion que es muy bueno y felicidades

  4. AaLlAaNn Says:

    me parece demaciado interesante esta propuesta deben de ser mas especificos con las ideas y desglosarlas un poco mas gracias

  5. anita goforadump Says:

    yo creeo k mi nalga sudada y vieja pudo aver explicado mejor

  6. MARIHUANA 159 Says:

    VALE TIO QUE VOS ESTAS EN LO CORRECTO PERO QUE PUEDO OPINAR DE LA POLIAMIA MATEMATICA.

  7. MARIHUANA 159 Says:

    ERA POLIGAMIA , PERDON.

  8. Flopy Says:

    NO ENTENDI NAA

  9. koketha27 Says:

    xala vida loko no entendi ni p÷io loko xa nombe eso ta duro

  10. Izza Says:

    Tengo un triangulo ABC agudo, con un recta paralela a la hipotemusa BC llamada ”l”. Llamamos D el punto donde ”l” corta a AB y E el punto de ”l” corta AC.

    Si AD < o = (Inferior o igual a) ½ AB, entonces el Area de ADE= (AD/AB)^? × (Area de ABC)
    [ Area de ADE es igual a AD/AB a la potencia ''?'' (Incognita) por el Area de ABC ]

    Hay alguna formula que lo demuestre o me ayude a resolverlo?
    No dan ninguna medida.

  11. 546563 Says:

    aaiii, esto no se entiende buien para las personas de mi edad i jo
    Podeis explicar´lo más facilment
    Gracias!!

  12. remigio ortiz Says:

    hannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn facilito

  13. tatiana Says:

    Graciias por Explicar Estoo xD”

  14. pablo Says:

    gracias me ayudo mucho en lo que es trigonometria

  15. MeLa Says:

    Hola necesito estudiar para un examen q tengo q redir si no entiendo esto me la llevo a febrero podrian especificar mas por ejemplo un ejercicio q tengo (trieangulo ) datos :b:5cm h:32cm como resuelvo lo unico q se es q es base por altura luewgo lo tengo q pasar a cm dm no enriendo nada necesitohh mal explicacion!!!!! Espero rendir buen elk examen no kiero ir al cole e n febreo
    MeLa

  16. gustavo marin Says:

    les agrade seriamos si cada vez que hicieran un ejercicio en letras también lo hicieran en números. así les entenderíamos mas. gracias de todas maneras.

  17. demY$ (chola) ZAmarripa Says:

    gracias x toda esta informacion
    Ya que mi maestra no supo explicarme y nunka le entiendo ni maaaadres…
    chido espero y tengan otro tipo de formulas para calcular el area de un cuadrilatero ok

  18. mar Says:

    muy interesante, pero no entendí como integras el semiperimetro a la formula ???

  19. 00p2 Says:

    no le entendy ni la 1/4 parte de lo que quiere decir

  20. rubiannys Says:

    tr8uy6iryuiryui

  21. kimberly ortiz Says:

    al principio no entendia nada pero a hora si y bastante lo entendi hasta melo memorise

  22. adrian Says:

    malooooooooooooooooooooooooooooooooooo

  23. shico 198 Says:

    quede mas confundido de lo que estaba

  24. shico 198 Says:

    quede mas confundido de lo que ya estaba

  25. miriam Says:

    esty sper cofundida

  26. anet Says:

    +*gracias x añudar

  27. Antón Aular Alvarez Says:

    Lo que puedo entender es, que si los foristas, así como escriben tan mal, saben otras materias (geometría por ejm.), son unos burros. Es necesario estudiar para ser mejores.

  28. lucero sanches mendosa Says:

    es muy util pero no le entiendo nada d nada que lo pongan mas claro no

  29. monserrath Says:

    yo digo q matebruticas es un asco

  30. starlin manuel jey star Says:

    me dejaste total mente igual

  31. youtube Says:

    gratci

  32. youtube Says:

    gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggeeennniiiiiiiiiiiiiiiaaaaaaaaaalllllllllllll

  33. youtube Says:

    put matematicas

  34. youtube Says:

    putotes

  35. coopeyyu321 Says:

    eso es matematica

  36. yuli natalia Says:

    eso es geomtria

  37. maria Says:

    grasias me ayudo mucho :D

  38. natalia melo Says:

    grasias esta pagiuna me ayudo mucho

  39. Ricardo Says:

    Por fvor quisiera saber dada las tres medianas de un triangulo de que forma se pudiera encontrar el area, escribanme a este correo:aricardo@estudiantes.grm.uci.cu

  40. Teodulo Joel Victorio Huaranga Says:

    Me gané una cena/merienda/comida aquí en mi PERÚ.
    Muchas gracias señores, reitero me gane algito.
    Atentamente desde LA OROYA-YAULI-PERÚ.
    victoriohtj@hotmail.com

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